4. 如果一个三角形的两条边的长度分别为 6 厘米和 10 厘米，第三条边的长度数值是质数，单位为厘米，有(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)种可能。A.2
B.3
C.4
D.5
答案：4. C
解析：
设第三条边的长度为$x$厘米。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
$10 - 6 ＜ x ＜ 10 + 6$，即$4 ＜ x ＜ 16$。
$x$为质数，满足条件的质数有：5，7，11，13。
共4种可能。
C
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
$10 - 6 ＜ x ＜ 10 + 6$，即$4 ＜ x ＜ 16$。
$x$为质数，满足条件的质数有：5，7，11，13。
共4种可能。
C
5. 一个两位数，个位上与十位上的数都是质数，它们的和是 10，积是 21，这样的数有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)。A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：5. B
解析：
小于10的质数有2、3、5、7。设个位数字为$a$，十位数字为$b$，则$a + b = 10$，$a × b = 21$。解得$a=3$，$b=7$或$a=7$，$b=3$，对应的两位数为37和73，共2个。B
6. 两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 24，则符合条件的数有(
A.2 组
B.3 组
C.4 组
D.5 组
A
)。A.2 组
B.3 组
C.4 组
D.5 组
答案：6. A
解析：
设两个数分别为$4a$和$4b$（$a$、$b$互质，且$a ＜ b$）。
因为最小公倍数为$24$，所以$4ab = 24$，即$ab = 6$。
$6$的正整数分解式（$a ＜ b$且$a$、$b$互质）：
$a = 1$，$b = 6$，两数为$4×1 = 4$，$4×6 = 24$；
$a = 2$，$b = 3$，两数为$4×2 = 8$，$4×3 = 12$。
符合条件的数有$2$组。
A
因为最小公倍数为$24$，所以$4ab = 24$，即$ab = 6$。
$6$的正整数分解式（$a ＜ b$且$a$、$b$互质）：
$a = 1$，$b = 6$，两数为$4×1 = 4$，$4×6 = 24$；
$a = 2$，$b = 3$，两数为$4×2 = 8$，$4×3 = 12$。
符合条件的数有$2$组。
A
7. 用数字 0、1、2、3、4、5、6 可以组成(
A.120
B.240
C.300
D.420
D
)个无重复数字的四位偶数。A.120
B.240
C.300
D.420
答案：7. D
解析：
要组成无重复数字的四位偶数，需考虑个位数字为0、2、4、6这四种情况，分两类讨论：
情况一：个位数字为0
个位已确定为0，千位可从1-6中选（6种），百位从剩余5个数字中选（5种），十位从剩余4个数字中选（4种）。
数量：$6 × 5 × 4 = 120$
情况二：个位数字为2、4、6（共3种选择）
个位选2、4、6中的一个（3种），千位不能为0和个位数字，有5种选择（1-6中排除个位数字），百位从剩余5个数字（含0）中选（5种），十位从剩余4个数字中选（4种）。
数量：$3 × 5 × 5 × 4 = 300$
总数量
两类相加：$120 + 300 = 420$
D
情况一：个位数字为0
个位已确定为0，千位可从1-6中选（6种），百位从剩余5个数字中选（5种），十位从剩余4个数字中选（4种）。
数量：$6 × 5 × 4 = 120$
情况二：个位数字为2、4、6（共3种选择）
个位选2、4、6中的一个（3种），千位不能为0和个位数字，有5种选择（1-6中排除个位数字），百位从剩余5个数字（含0）中选（5种），十位从剩余4个数字中选（4种）。
数量：$3 × 5 × 5 × 4 = 300$
总数量
两类相加：$120 + 300 = 420$
D
三、按要求写一写
1. 在括号里填上合适的质数。
21 = (
28 = (
84 = (
1. 在括号里填上合适的质数。
21 = (
2
) )+(19
)28 = (
2
) )×(2
)×(7
)84 = (
2
) )×(2
)×(3
)×(7
)答案：1. 2 19 2 2 7 2 2 3 7
2. 写出下面每组数的最大公因数。
(1)$ (31,62) = $ $ (54,24) = $
(2)最大因数是 19 的数和最小倍数是 25 的数：()。
(1)$ (31,62) = $ $ (54,24) = $
(2)最大因数是 19 的数和最小倍数是 25 的数：()。
答案：2. (1)31 6 (2)1
四、解决问题
1. 如图所示为一张靶纸，靶纸上的 1、3、5、7、9 表示射中该靶区的分数。一次实弹射击后，甲说：“我打了 6 枪，每枪都中靶得分，共得了 27 分。”乙说：“我打了 3 枪，每枪都中靶得分，共得了 27 分。”已知甲、乙两人中有一人说的是真话，你知道谁在说谎吗？
1. 如图所示为一张靶纸，靶纸上的 1、3、5、7、9 表示射中该靶区的分数。一次实弹射击后，甲说：“我打了 6 枪，每枪都中靶得分，共得了 27 分。”乙说：“我打了 3 枪，每枪都中靶得分，共得了 27 分。”已知甲、乙两人中有一人说的是真话，你知道谁在说谎吗？
答案：1. 甲在说谎。一共打了6枪，每一枪的中靶分数都是奇数，偶数个奇数相加的和应该是偶数，不可能是奇数。
解析：
甲在说谎。6枪，每枪得分均为奇数，6个奇数相加的和为偶数，27是奇数，不可能。
2. 有一种电子钟，每到整点响一次铃，每走 9 分钟亮一次灯。中午 12 时的时候既响铃又亮灯，下一次既响铃又亮灯的时刻是几时？
答案：2. 下午3时
解析：
整点响铃，即每60分钟响铃一次。亮灯每9分钟一次，既响铃又亮灯的时间间隔是60和9的最小公倍数。
60的质因数分解：$60 = 2^2 × 3 × 5$
9的质因数分解：$9 = 3^2$
最小公倍数为$2^2 × 3^2 × 5 = 180$分钟，180分钟 = 3小时。
12时 + 3小时 = 15时，即下午3时。
下午3时
60的质因数分解：$60 = 2^2 × 3 × 5$
9的质因数分解：$9 = 3^2$
最小公倍数为$2^2 × 3^2 × 5 = 180$分钟，180分钟 = 3小时。
12时 + 3小时 = 15时，即下午3时。
下午3时
3. 如图所示，要在路 AB 和 BC 的一边摆盆花，要求每两盆盆花之间的距离相等，并且 A、B、C 处各摆一盆，这条路最少摆几盆盆花？
答案：3. (250,175) = 25 250 + 175 = 425(米) 425÷25 = 17(盆) 17 + 1 = 18(盆) 最少摆18盆盆花
解析：
250和175的最大公因数是25。
250+175=425（米）
425÷25=17（段）
17+1=18（盆）
最少摆18盆盆花
250+175=425（米）
425÷25=17（段）
17+1=18（盆）
最少摆18盆盆花
4. 学校开运动会，在 400 米环形跑道边每 16 米插一面彩旗，一共插了 25 面。后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现一共有 5 面彩旗没动。你知道新插彩旗的间隔是多少米吗？
答案：4. 新插彩旗的间隔是10米或5米
提示：新插完后发现5面彩旗没动，可知原来的25面每5面剩1面，原来5面的距离为16×5 = 80(米)，也就是要使80(包括80)这一点的彩旗不动，要求现在彩旗的间隔就要从80的因数里找，并且不能是16的因数，最后发现只有5，10，20，40，80符合要求，彩旗增加，间隔肯定小于16米，所以不可能是20米，40米和80米，即新插彩旗的间隔是10米或5米。
提示：新插完后发现5面彩旗没动，可知原来的25面每5面剩1面，原来5面的距离为16×5 = 80(米)，也就是要使80(包括80)这一点的彩旗不动，要求现在彩旗的间隔就要从80的因数里找，并且不能是16的因数，最后发现只有5，10，20，40，80符合要求，彩旗增加，间隔肯定小于16米，所以不可能是20米，40米和80米，即新插彩旗的间隔是10米或5米。
在一个圆圈上有不超过 100 个孔（如图），小明像玩跳棋那样，从 a 孔出发，沿逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回 a 孔，他先试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 b 孔，他又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 b 孔。最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回 a 孔。这个圆圈上共有多少个孔？
答案：
共有91个孔 提示：每隔2孔跳一步，连起点一共要跳过3个孔，结果只能跳到b孔，即孔数是3的倍数多1，如图①；每隔4孔跳一步，连起点一共要跳过5个孔，结果只能跳到b孔，即孔数是5的倍数多1，如图②；每隔6孔跳一步能跳到原位，孔数是7的倍数，如图③。3与5是互质数，所以圆圈上的孔数是15的倍数加上1，且小于或等于100，即16、31、46、61、76、91，其中91符合条件。
共有91个孔 提示：每隔2孔跳一步，连起点一共要跳过3个孔，结果只能跳到b孔，即孔数是3的倍数多1，如图①；每隔4孔跳一步，连起点一共要跳过5个孔，结果只能跳到b孔，即孔数是5的倍数多1，如图②；每隔6孔跳一步能跳到原位，孔数是7的倍数，如图③。3与5是互质数，所以圆圈上的孔数是15的倍数加上1，且小于或等于100，即16、31、46、61、76、91，其中91符合条件。