7. 《三国志》是由西晋史学家陈寿所著，二十四史之一，全书一共六十五卷，《魏书》三十卷，《蜀书》十五卷，《吴书》二十卷。《魏书》《蜀书》《吴书》的卷数各占总卷数的几分之几？(结果用最简分数表示)
答案：7. 《魏书》：$30÷65=\frac{6}{13}$ 《蜀书》：$15÷65=\frac{3}{13}$
《吴书》：$20÷65=\frac{4}{13}$
《吴书》：$20÷65=\frac{4}{13}$
8. 如图，甲三角形的面积是乙三角形面积的几分之几？乙三角形的面积是平行四边形面积的几分之几？
答案：8. $\frac{4}{5}$ $\frac{5}{18}$
解析：
设平行四边形的底为$b$，高为$h$，则平行四边形面积为$bh$。
设甲三角形的底为$4a$，高为$h$，面积为$\frac{1}{2}×4a× h = 2ah$；乙三角形的底为$5a$，高为$h$，面积为$\frac{1}{2}×5a× h=\frac{5}{2}ah$。
甲三角形面积是乙三角形面积的$\frac{2ah}{\frac{5}{2}ah}=\frac{4}{5}$。
乙三角形面积是平行四边形面积的$\frac{\frac{5}{2}ah}{bh}$，因平行四边形底$b = 4a + 5a=9a$，故$\frac{\frac{5}{2}ah}{9a× h}=\frac{5}{18}$。
$\frac{4}{5}$；$\frac{5}{18}$
设甲三角形的底为$4a$，高为$h$，面积为$\frac{1}{2}×4a× h = 2ah$；乙三角形的底为$5a$，高为$h$，面积为$\frac{1}{2}×5a× h=\frac{5}{2}ah$。
甲三角形面积是乙三角形面积的$\frac{2ah}{\frac{5}{2}ah}=\frac{4}{5}$。
乙三角形面积是平行四边形面积的$\frac{\frac{5}{2}ah}{bh}$，因平行四边形底$b = 4a + 5a=9a$，故$\frac{\frac{5}{2}ah}{9a× h}=\frac{5}{18}$。
$\frac{4}{5}$；$\frac{5}{18}$
9. 在分母是 36 的真分数中，不能约分的分数一共有多少个？
答案：9. 有$\frac{1}{36}$、$\frac{5}{36}$、$\frac{7}{36}$、$\frac{11}{36}$、$\frac{13}{36}$、$\frac{17}{36}$、$\frac{19}{36}$、$\frac{23}{36}$、$\frac{25}{36}$、$\frac{29}{36}$、$\frac{31}{36}$、$\frac{35}{36}$，共12个。
解析：
分母是36的真分数，分子的取值范围是1到35。不能约分即分子与36互质。36分解质因数为$2^2×3^2$，与36互质的数是指分子既不是2的倍数也不是3的倍数。
1到35中，2的倍数有17个（2,4,...,34），3的倍数有11个（3,6,...,33），既是2又是3的倍数（即6的倍数）有5个（6,12,...,30）。根据容斥原理，是2或3的倍数的数有$17 + 11 - 5 = 23$个。
所以与36互质的数有$35 - 23 = 12$个，分别是1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35。对应的分数为$\frac{1}{36}$、$\frac{5}{36}$、$\frac{7}{36}$、$\frac{11}{36}$、$\frac{13}{36}$、$\frac{17}{36}$、$\frac{19}{36}$、$\frac{23}{36}$、$\frac{25}{36}$、$\frac{29}{36}$、$\frac{31}{36}$、$\frac{35}{36}$。
共12个。
1到35中，2的倍数有17个（2,4,...,34），3的倍数有11个（3,6,...,33），既是2又是3的倍数（即6的倍数）有5个（6,12,...,30）。根据容斥原理，是2或3的倍数的数有$17 + 11 - 5 = 23$个。
所以与36互质的数有$35 - 23 = 12$个，分别是1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35。对应的分数为$\frac{1}{36}$、$\frac{5}{36}$、$\frac{7}{36}$、$\frac{11}{36}$、$\frac{13}{36}$、$\frac{17}{36}$、$\frac{19}{36}$、$\frac{23}{36}$、$\frac{25}{36}$、$\frac{29}{36}$、$\frac{31}{36}$、$\frac{35}{36}$。
共12个。
10. (1) 把一个分数用 2 约分一次，用 3 约分一次，用 5 约分一次，最后得到的结果是 $\frac{3}{4}$，这个分数原来是(
(2) 《九章算术》中有：“又有九十一分之四十九，问约之得几何？”意思是把 $\frac{49}{91}$ 约分后是多少？下面是书中介绍的“约分术”。
约分术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
意思是：如果分子、分母全是偶数，那么就先都除以 2；否则用较大的数减去较小的数，把所得的差与上一步中的减数比较，再用较大的数减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等，即出现“等数”时，用这个“等数”(即分子和分母的最大公因数)约分。
根据以上方法，$\frac{49}{91}$ 的分子和分母的最大公因数是(
(3) 一个最简真分数，分子与分母相差 2，它们的最小公倍数是 63，这个分数是(
$\frac{90}{120}$
)。(2) 《九章算术》中有：“又有九十一分之四十九，问约之得几何？”意思是把 $\frac{49}{91}$ 约分后是多少？下面是书中介绍的“约分术”。
约分术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
意思是：如果分子、分母全是偶数，那么就先都除以 2；否则用较大的数减去较小的数，把所得的差与上一步中的减数比较，再用较大的数减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等，即出现“等数”时，用这个“等数”(即分子和分母的最大公因数)约分。
根据以上方法，$\frac{49}{91}$ 的分子和分母的最大公因数是(
7
)，约分成最简分数为($\frac{7}{13}$
)，分数 $\frac{5823}{17469}$ 约分成最简分数为($\frac{1}{3}$
)。(3) 一个最简真分数，分子与分母相差 2，它们的最小公倍数是 63，这个分数是(
$\frac{7}{9}$
)。答案：10. (1)$\frac{90}{120}$ (2)$7\frac{7}{13}$ $\frac{1}{3}$ (3)$\frac{7}{9}$
11. 把 $\frac{202520252025}{202620262026}$ 约分成最简分数是多少？
答案：11. $\frac{202520252025}{202620262026}=\frac{2025×100010001}{2026×100010001}=\frac{2025}{2026}$
12. $\frac{37}{57}$ 的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是 $\frac{5}{9}$，减去的数是几？
答案：12. 减去的数是12。 提示：分子与分母的差不变。$57 - 37 = 20$，$20÷(9 - 5) = 5$，可知约去的数是5，新分数是$\frac{25}{45}$，$37 - 25 = 12$，则减去的数是12。
解析：
$57-37=20$，$9-5=4$，$20÷4=5$，$5×5=25$，$37-25=12$，减去的数是12。
13. $\frac{7}{13}$ 的分子减去一个数，而分母加上这个数后约分为 $\frac{1}{3}$，求这个数。
答案：13. 这个数是2。 提示：分子减去一个数，同时分母加上这个数，那么分子与分母的和不变，原分数的分子、分母之和为$7 + 13 = 20$，说明新分数的分子、分母之和也是20，而新分数约分后是$\frac{1}{3}$，分子、分母的和是$1 + 3 = 4$，因此可知约去的数是$20÷4 = 5$。新分数为$\frac{5}{15}$，这样可知分子减去的数是2。
解析：
设这个数为$x$。
原分数分子为$7$，分母为$13$，分子减去$x$后为$7 - x$，分母加上$x$后为$13 + x$，此时分数为$\frac{7 - x}{13 + x}$。
因为约分后为$\frac{1}{3}$，所以$\frac{7 - x}{13 + x} = \frac{1}{3}$。
交叉相乘得：$3(7 - x) = 13 + x$
去括号：$21 - 3x = 13 + x$
移项：$-3x - x = 13 - 21$
合并同类项：$-4x = -8$
解得：$x = 2$
这个数是$2$。
原分数分子为$7$，分母为$13$，分子减去$x$后为$7 - x$，分母加上$x$后为$13 + x$，此时分数为$\frac{7 - x}{13 + x}$。
因为约分后为$\frac{1}{3}$，所以$\frac{7 - x}{13 + x} = \frac{1}{3}$。
交叉相乘得：$3(7 - x) = 13 + x$
去括号：$21 - 3x = 13 + x$
移项：$-3x - x = 13 - 21$
合并同类项：$-4x = -8$
解得：$x = 2$
这个数是$2$。
14. 一个分数，如果分子加上 1，分母减去 1，约分后是 $\frac{4}{5}$；如果分子减去 1，分母加上 1，约分后是 $\frac{1}{2}$，原分数是多少？
答案：14. 原分数是$\frac{7}{11}$。 提示：因为分子加上1，分母减去1，约分后是$\frac{4}{5}$，假设此时的分子是$4x$，分母是$5x$，则原分数的分子是$4x - 1$，分母是$5x + 1$。当分子减去1，分母加上1，约分后是$\frac{1}{2}$，即此时分母是分子的2倍，且分子是$4x - 1 - 1$，分母是$5x + 1 + 1$。可列方程$(4x - 1 - 1)×2 = 5x + 1 + 1$，解得$x = 2$，则原分数的分子是$4×2 - 1 = 7$，分母是$5×2 + 1 = 11$，即原分数是$\frac{7}{11}$。
解析：
设分子加上1，分母减去1后分数为$\frac{4x}{5x}$（$x$为正整数），则原分数分子为$4x - 1$，分母为$5x + 1$。
分子减去1后为$4x - 1 - 1 = 4x - 2$，分母加上1后为$5x + 1 + 1 = 5x + 2$，此时分数为$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(4x - 2)×2 = 5x + 2$
$8x - 4 = 5x + 2$
$8x - 5x = 2 + 4$
$3x = 6$
$x = 2$
原分数分子：$4×2 - 1 = 7$，分母：$5×2 + 1 = 11$，原分数是$\frac{7}{11}$。
分子减去1后为$4x - 1 - 1 = 4x - 2$，分母加上1后为$5x + 1 + 1 = 5x + 2$，此时分数为$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(4x - 2)×2 = 5x + 2$
$8x - 4 = 5x + 2$
$8x - 5x = 2 + 4$
$3x = 6$
$x = 2$
原分数分子：$4×2 - 1 = 7$，分母：$5×2 + 1 = 11$，原分数是$\frac{7}{11}$。