1. 2025年“苏超”于11月1日落下帷幕，泰州队最终在点球大战中4比3击败南通队，夺得“苏超”冠军。全部赛程中，泰州队和南通队分别取得8胜3平4负和12胜2平1负的战绩。
(1) 南通队胜的场次占本队总比赛场次的$\frac{(\_\_\_\_\_\_)}{(\_\_\_\_\_\_)}$。
(2) 南通队胜的场次是泰州队胜的场次的(
(1) 南通队胜的场次占本队总比赛场次的$\frac{(\_\_\_\_\_\_)}{(\_\_\_\_\_\_)}$。
(2) 南通队胜的场次是泰州队胜的场次的(
$1\frac{1}{2}$
)倍。(用带分数表示)答案：1. (1) $\frac{4}{5}$ 提示: 根据题意, 南通队胜 12 场, 总比赛场次为 $12 + 2 + 1 = 15$(场), 因此南通队胜的场次占本队总比赛场次的 $12 ÷ 15 = \frac{4}{5}$。
(2) $1\frac{1}{2}$ 提示: 根据题意, 南通队胜 12 场, 泰州队胜 8 场, 所以南通队胜的场次是泰州队胜的场次的 $12 ÷ 8 = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ 倍。
(2) $1\frac{1}{2}$ 提示: 根据题意, 南通队胜 12 场, 泰州队胜 8 场, 所以南通队胜的场次是泰州队胜的场次的 $12 ÷ 8 = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ 倍。
2. 推导探究 乐乐在做$\frac{1}{7}＜\frac{(\_\_\_\_\_\_)}{(\_\_\_\_\_\_)}＜\frac{1}{6}$时，把分数$\frac{1}{6}$和$\frac{1}{7}$的分子和分母分别相加得到$\frac{2}{13}$。
(1) 乐乐填的$\frac{2}{13}$对吗？请计算说明理由。
(2) 乐乐由此推测：$\frac{1}{a}＜\frac{2}{a+b}＜\frac{1}{b}(a＞b＞0)$一定是成立的，她的推测正确吗？请你说明理由。
(1) 乐乐填的$\frac{2}{13}$对吗？请计算说明理由。
(2) 乐乐由此推测：$\frac{1}{a}＜\frac{2}{a+b}＜\frac{1}{b}(a＞b＞0)$一定是成立的，她的推测正确吗？请你说明理由。
答案：2. (1) 乐乐填的对。$\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$，$\frac{1}{7} = \frac{2}{14}$，因为 $\frac{2}{14} ＜ \frac{2}{13} ＜ \frac{2}{12}$，所以 $\frac{1}{7} ＜ \frac{2}{13} ＜ \frac{1}{6}$。提示: 本题考查分数大小的比较, 分数的分子相同, 分母大的分数小, 结合“$\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$，$\frac{1}{7} = \frac{2}{14}$”可得 $\frac{2}{14} ＜ \frac{2}{13} ＜ \frac{2}{12}$，所以 $\frac{1}{7} ＜ \frac{2}{13} ＜ \frac{1}{6}$。
(2) 她的推测正确。$\frac{1}{a} = \frac{2}{2a}$，$\frac{1}{b} = \frac{2}{2b}$，因为 $a ＞ b ＞ 0$，所以 $2b ＜ a + b ＜ 2a$，所以 $\frac{2}{2a} ＜ \frac{2}{a + b} ＜ \frac{2}{2b}$，也就是 $\frac{1}{a} ＜ \frac{2}{a + b} ＜ \frac{1}{b}$。提示: 本题考查分数大小的比较, 分数的分子相同, 分母大的分数小, 结合“$\frac{1}{a} = \frac{2}{2a}$，$\frac{1}{b} = \frac{2}{2b}$”，因为 $a ＞ b ＞ 0$，所以 $2b ＜ a + b ＜ 2a$，所以 $\frac{2}{2a} ＜ \frac{2}{a + b} ＜ \frac{2}{2b}$，也就是 $\frac{1}{a} ＜ \frac{2}{a + b} ＜ \frac{1}{b}$。
(2) 她的推测正确。$\frac{1}{a} = \frac{2}{2a}$，$\frac{1}{b} = \frac{2}{2b}$，因为 $a ＞ b ＞ 0$，所以 $2b ＜ a + b ＜ 2a$，所以 $\frac{2}{2a} ＜ \frac{2}{a + b} ＜ \frac{2}{2b}$，也就是 $\frac{1}{a} ＜ \frac{2}{a + b} ＜ \frac{1}{b}$。提示: 本题考查分数大小的比较, 分数的分子相同, 分母大的分数小, 结合“$\frac{1}{a} = \frac{2}{2a}$，$\frac{1}{b} = \frac{2}{2b}$”，因为 $a ＞ b ＞ 0$，所以 $2b ＜ a + b ＜ 2a$，所以 $\frac{2}{2a} ＜ \frac{2}{a + b} ＜ \frac{2}{2b}$，也就是 $\frac{1}{a} ＜ \frac{2}{a + b} ＜ \frac{1}{b}$。
3. (1) 一个假分数，分子和分母同时除以5之后，分子比分母大1。如果原来这个假分数的分子与分母的和是75，那么原来这个假分数是(
(2) 有一个假分数，将它化成带分数后，分数部分的分子、分母和整数部分刚好是三个连续的自然数，且它们的和是9。这个假分数最大是(
(3) 有8个数，$0.\dot{5}\dot{1}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{5}{9}$、$0.5\dot{1}$、$\frac{24}{47}$、$\frac{13}{25}$是其中6个，如果按照从小到大的顺序排列，第4个数是$0.5\dot{1}$，那么按照从大到小的顺序排列时，第4个数是(
$\frac{40}{35}$
)。(2) 有一个假分数，将它化成带分数后，分数部分的分子、分母和整数部分刚好是三个连续的自然数，且它们的和是9。这个假分数最大是(
$\frac{14}{3}$
)。(3) 有8个数，$0.\dot{5}\dot{1}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{5}{9}$、$0.5\dot{1}$、$\frac{24}{47}$、$\frac{13}{25}$是其中6个，如果按照从小到大的顺序排列，第4个数是$0.5\dot{1}$，那么按照从大到小的顺序排列时，第4个数是(
$0.\dot{5}\dot{1}$
)。答案：3. (1) $\frac{40}{35}$ 提示: 分子和分母同时除以 5 之后, 分子比分母大 1, 说明原来这个假分数的分子比分母大 5。再根据原来这个假分数的分子与分母的和是 75，$75 + 5 = 80$，$80 ÷ 2 = 40$，求出分子是 40，分母就是 $40 - 5 = 35$，所以原来这个假分数是 $\frac{40}{35}$。
(2) $\frac{14}{3}$ 提示: $9 ÷ 3 = 3$，因此三个连续的自然数分别是 2、3 和 4。要使这个假分数最大, 整数部分应该是 4。带分数的分数部分必须是真分数, 所以分母是 3, 分子是 2。因此这个带分数是 $4\frac{2}{3}$，化成假分数是 $\frac{14}{3}$。
(3) $0.\dot{5}\dot{1}$ 提示: $\frac{2}{3} = 0.\dot{6}$，$\frac{5}{9} = 0.\dot{5}$，$\frac{24}{47} \approx 0.5106$，$\frac{13}{25} = 0.52$，显然有 $0.5106 ＜ 0.\dot{5}\dot{1} ＜ 0.\dot{5}\dot{1} ＜ 0.52 ＜ 0.\dot{5} ＜ 0.\dot{6}$，即 $\frac{24}{47} ＜ 0.\dot{5}\dot{1} ＜ 0.\dot{5}\dot{1} ＜ \frac{13}{25} ＜ \frac{5}{9} ＜ \frac{2}{3}$，因为这 8 个数按照从小到大的顺序排列时, 第 4 个数是 $0.\dot{5}\dot{1}$，所以其他两个数均比 $0.\dot{5}\dot{1}$ 小, 所以这 8 个数按照从大到小的顺序排列时, 第 4 个数是 $0.\dot{5}\dot{1}$。
(2) $\frac{14}{3}$ 提示: $9 ÷ 3 = 3$，因此三个连续的自然数分别是 2、3 和 4。要使这个假分数最大, 整数部分应该是 4。带分数的分数部分必须是真分数, 所以分母是 3, 分子是 2。因此这个带分数是 $4\frac{2}{3}$，化成假分数是 $\frac{14}{3}$。
(3) $0.\dot{5}\dot{1}$ 提示: $\frac{2}{3} = 0.\dot{6}$，$\frac{5}{9} = 0.\dot{5}$，$\frac{24}{47} \approx 0.5106$，$\frac{13}{25} = 0.52$，显然有 $0.5106 ＜ 0.\dot{5}\dot{1} ＜ 0.\dot{5}\dot{1} ＜ 0.52 ＜ 0.\dot{5} ＜ 0.\dot{6}$，即 $\frac{24}{47} ＜ 0.\dot{5}\dot{1} ＜ 0.\dot{5}\dot{1} ＜ \frac{13}{25} ＜ \frac{5}{9} ＜ \frac{2}{3}$，因为这 8 个数按照从小到大的顺序排列时, 第 4 个数是 $0.\dot{5}\dot{1}$，所以其他两个数均比 $0.\dot{5}\dot{1}$ 小, 所以这 8 个数按照从大到小的顺序排列时, 第 4 个数是 $0.\dot{5}\dot{1}$。
4. 推理意识 把20以内的质数分别填入□中(每个质数只用一次)。使A是整数，A最大是(
$ A=\frac{□+□+□+□+□+□+□}{□} $
10
)。$ A=\frac{□+□+□+□+□+□+□}{□} $
答案：4. 10 提示: 要使 A 最大, 分母应最小。当分母是质数 2、3、5 时, A 不是整数; 当分母是 7 时, $A = \frac{2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19}{7} = 10$。
解析：
20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。要使$A$最大，分母应最小。
分母为2时：分子为3+5+7+11+13+17+19=75，$75÷2=37.5$，不是整数。
分母为3时：分子为2+5+7+11+13+17+19=74，$74÷3\approx24.67$，不是整数。
分母为5时：分子为2+3+7+11+13+17+19=72，$72÷5=14.4$，不是整数。
分母为7时：分子为2+3+5+11+13+17+19=70，$70÷7 = 10$，是整数。
$A$最大是10。
分母为2时：分子为3+5+7+11+13+17+19=75，$75÷2=37.5$，不是整数。
分母为3时：分子为2+5+7+11+13+17+19=74，$74÷3\approx24.67$，不是整数。
分母为5时：分子为2+3+7+11+13+17+19=72，$72÷5=14.4$，不是整数。
分母为7时：分子为2+3+5+11+13+17+19=70，$70÷7 = 10$，是整数。
$A$最大是10。
5. (1) 分母是91的最简真分数有(
(2) 小林计算$M÷37$得到的结果四舍五入后保留六位小数是9.684469，其中M是一个自然数，小林得到的结果的整数部分是正确的，小数部分中的六个数字也没有错，只是顺序写错了，那么正确的计算结果应是(
72
)个。(2) 小林计算$M÷37$得到的结果四舍五入后保留六位小数是9.684469，其中M是一个自然数，小林得到的结果的整数部分是正确的，小数部分中的六个数字也没有错，只是顺序写错了，那么正确的计算结果应是(
9.648649
)。答案：
5. (1) 72 提示: 真分数是指分子小于分母的分数, 最简真分数是指分子与分母互质的真分数。分母是 91 的真分数一共有 $91 - 1 = 90$(个), 它们的分子是 1~90 的自然数。要求最简真分数, 那么分子中凡是 91 的质因数的倍数都应去掉。而 $91 = 7 × 13$，在 1~90 的自然数中, 7 的倍数有 $13 - 1 = 12$(个), 13 的倍数有 $7 - 1 = 6$(个), 这样分子可取的数一共有 $90 - 12 - 6 = 72$(个)。
(2) 9.648649 提示: 因为 $\frac{1}{37} = 0.\dot{0}2\dot{7}$，所以 $M ÷ 37$ 的商的循环节也有 3 位, 且商为纯循环小数。因为 9.684469 的小数部分有 2 个 4、2 个 6、1 个 8 和 1 个 9, 所以循环节应是 46$□$ 或 64$□$
。根据剩下的 1 个 8 和 1 个 9 可知, 四舍五入时有进位, 所以循环节应是 648, 所以正确的结果是 9.648649。
5. (1) 72 提示: 真分数是指分子小于分母的分数, 最简真分数是指分子与分母互质的真分数。分母是 91 的真分数一共有 $91 - 1 = 90$(个), 它们的分子是 1~90 的自然数。要求最简真分数, 那么分子中凡是 91 的质因数的倍数都应去掉。而 $91 = 7 × 13$，在 1~90 的自然数中, 7 的倍数有 $13 - 1 = 12$(个), 13 的倍数有 $7 - 1 = 6$(个), 这样分子可取的数一共有 $90 - 12 - 6 = 72$(个)。
(2) 9.648649 提示: 因为 $\frac{1}{37} = 0.\dot{0}2\dot{7}$，所以 $M ÷ 37$ 的商的循环节也有 3 位, 且商为纯循环小数。因为 9.684469 的小数部分有 2 个 4、2 个 6、1 个 8 和 1 个 9, 所以循环节应是 46$□$ 或 64$□$
。根据剩下的 1 个 8 和 1 个 9 可知, 四舍五入时有进位, 所以循环节应是 648, 所以正确的结果是 9.648649。