4. 推导探究 乐乐在探索直角三角形三边的关系时发现：直角三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方，例如：如图①，$ AB^2 + BC^2 = AC^2 = 9 + 16 = 25 $，所以 $ AC = 5 $。
如果直角三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ABC = 90° $，$ AB = 12 $，$ BC = 5 $，回答下面的问题。
(1)若以 $ AC $ 为边向外作正方形(如图②)，则正方形的面积是(
(2)若分别以 $ AB $、$ BC $、$ AC $ 为直径向外作半圆(如图③)，三个半圆的面积之和是(
(3)如图④，请求出涂色部分的面积。
如果直角三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ABC = 90° $，$ AB = 12 $，$ BC = 5 $，回答下面的问题。
(1)若以 $ AC $ 为边向外作正方形(如图②)，则正方形的面积是(
$ 169 $
)。(2)若分别以 $ AB $、$ BC $、$ AC $ 为直径向外作半圆(如图③)，三个半圆的面积之和是(
$ 132.665 $
)。(3)如图④，请求出涂色部分的面积。
答案：4. (1) $ 169 $ 提示：由题图可知，正方形的面积 $ = AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 169 $。
(2) $ 132.665 $ 提示：由题图可知，三个半圆的面积之和 $ = π×[(12÷2)^{2} + (5÷2)^{2} + (13÷2)^{2}]÷2 = 132.665 $。
(3) $ 12×5÷2 = 30 $ 提示：由题图可知，涂色部分面积 $ = $ 直角三角形的面积 $ + $ 两个小半圆的面积 $ - $ 大半圆的面积，又因为两个小半圆的面积 $ = $ 大半圆的面积，所以涂色部分面积 $ = $ 直角三角形的面积 $ = 12×5÷2 = 30 $。
(2) $ 132.665 $ 提示：由题图可知，三个半圆的面积之和 $ = π×[(12÷2)^{2} + (5÷2)^{2} + (13÷2)^{2}]÷2 = 132.665 $。
(3) $ 12×5÷2 = 30 $ 提示：由题图可知，涂色部分面积 $ = $ 直角三角形的面积 $ + $ 两个小半圆的面积 $ - $ 大半圆的面积，又因为两个小半圆的面积 $ = $ 大半圆的面积，所以涂色部分面积 $ = $ 直角三角形的面积 $ = 12×5÷2 = 30 $。
5. “黄金螺线”是一种优美的螺旋曲线，自然界中存在许多黄金螺线的图案。它可以用大小不同的圆心角是 $ 90° $ 的扇形弧线画出来，如图。第①步中扇形的半径是 1 厘米，按如图的方法继续画，第④步中弧所在扇形的半径是(
$ 3 $
)厘米，继续画下去，第(⑦
)步中弧所在扇形的半径是 13 厘米，所画扇形的弧长是($ 20.41 $
)厘米。答案：5. $ 3 $ ⑦ $ 20.41 $ 提示：由下表可知，第④步中弧所在扇形的半径是 $ 3 $ 厘米，第⑦步中弧所在扇形的半径是 $ 13 $ 厘米，弧长是 $ 2×3.14×13÷4 = 20.41 $（厘米）。
|第几步|①|②|③|④|⑤|⑥|⑦|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|半径/厘米|1|1|2|3|5|8|13|
|第几步|①|②|③|④|⑤|⑥|⑦|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|半径/厘米|1|1|2|3|5|8|13|
6. 菲菲同学在学完了圆的知识后，想到了苏州的小桥流水，创作了下面一幅图。这幅图由 5 个完全相同的半圆组合而成，你知道菲菲在画半圆的时候，圆规两脚间的距离是多少吗？（单位：毫米）
答案：6. 解：设圆的直径为 $ x $ 毫米。 $ 3x + 12×2 = 2x + 22×2 + 16 $ $ x = 36 $ $ 36÷2 = 18 $（毫米） 提示：观察题图可知，上半部分是三个直径与两个 $ 12 $ 毫米的和，下半部分是两个直径与两个 $ 22 $ 毫米与一个 $ 16 $ 毫米的和。设圆的直径为 $ x $ 毫米，列方程为 $ 3x + 12×2 = 2x + 22×2 + 16 $，解方程，求出直径，再除以 $ 2 $，就是圆规两脚间的距离。
解析：
设圆的直径为 $ x $ 毫米。
$ 3x + 12 × 2 = 2x + 22 × 2 + 16 $
$ 3x + 24 = 2x + 44 + 16 $
$ 3x - 2x = 60 - 24 $
$ x = 36 $
$ 36 ÷ 2 = 18 $（毫米）
答：圆规两脚间的距离是18毫米。
$ 3x + 12 × 2 = 2x + 22 × 2 + 16 $
$ 3x + 24 = 2x + 44 + 16 $
$ 3x - 2x = 60 - 24 $
$ x = 36 $
$ 36 ÷ 2 = 18 $（毫米）
答：圆规两脚间的距离是18毫米。
7. 如图，$ AC = BD = 6 $ 米，求涂色部分的面积。
答案：
7. $ 6×6 - 3.14×6^{2}÷4 = 7.74 $（平方米） 提示：三角形为等腰直角三角形，如图，原图中的涂色部分的面积就是正方形的面积减去半径为 $ 6 $ 米的圆的面积的 $ \dfrac{1}{4} $。
7. $ 6×6 - 3.14×6^{2}÷4 = 7.74 $（平方米） 提示：三角形为等腰直角三角形，如图，原图中的涂色部分的面积就是正方形的面积减去半径为 $ 6 $ 米的圆的面积的 $ \dfrac{1}{4} $。
8. 几何直观 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径贴地面，再将它沿地面平移 60 米，半圆的直径为 6 米，则圆心 $ O $ 所经过的路线的长为多少米？
答案：
8. $ 3.14×6÷2 + 60 = 69.42 $（米） 提示：如图，由图可知，圆心从 $ O_{1} $ 到 $ O_{2} $，即为 $ \dfrac{1}{4} $ 圆的周长，然后沿着弧 $ O_{2}O_{3} $ 旋转 $ \dfrac{1}{4} $ 圆的周长，此时圆心总共走过的路程为圆周长的一半，然后向右平移 $ 60 $ 米，即圆心经过的路线长为半圆的弧长加上 $ 60 $ 米，根据半圆弧长公式 $ C = π d÷2 $，把数据代入即可求解。
8. $ 3.14×6÷2 + 60 = 69.42 $（米） 提示：如图，由图可知，圆心从 $ O_{1} $ 到 $ O_{2} $，即为 $ \dfrac{1}{4} $ 圆的周长，然后沿着弧 $ O_{2}O_{3} $ 旋转 $ \dfrac{1}{4} $ 圆的周长，此时圆心总共走过的路程为圆周长的一半，然后向右平移 $ 60 $ 米，即圆心经过的路线长为半圆的弧长加上 $ 60 $ 米，根据半圆弧长公式 $ C = π d÷2 $，把数据代入即可求解。