7. 归纳法 一个圆柱形木块，底面半径是1分米，高是8分米。把这个木块沿虚线切开后得到一些相同的小木块，如图。这些小木块的表面积之和比原来大木块的表面积增加了多少平方分米？
(1) 分析：横切：增加(
(2) 归纳：横切或纵切n刀，增加(
(3) 应用：请你列式计算。
(1) 分析：横切：增加(
6
)个大圆柱的底面的面积之和。纵切：增加(4
)个长(8
)分米、宽(2
)分米的长方形的面积之和。(2) 归纳：横切或纵切n刀，增加(
2n
)个截面面积的和。(3) 应用：请你列式计算。
答案：7. (1)提示:由题图可知，横切后表面积增加了3×2=6(个)圆柱的底面的面积，纵切后表面积增加了2×2=4(个)长为圆柱的高、宽为圆柱的底面直径的长方形的面积之和。梳理纵切增加的表面积时方法不唯一，合理即可。 (2)2n 提示:每切一刀,增加2个截面,那么切n刀,就增加2n个截面。 (3)3.14×1²×6+8×2×4=82.84(平方分米) 提示:增加的面积可以看成6个圆柱形木块的底面的面积与4个大长方形的面积之和。根据第(1)题的梳理列式计算即可,方法不唯一。
解析：
(1)6；4；8；2
(2)2n
(3)$3.14×1^{2}×6 + 8×2×4=82.84$
(2)2n
(3)$3.14×1^{2}×6 + 8×2×4=82.84$
8. 一个圆柱的高是12厘米，如果它的高减少3厘米，那么它的表面积就比原来减少94.2平方厘米。原来的圆柱的表面积是多少平方厘米？
答案：8. 94.2÷3÷3.14÷2=5(厘米) 3.14×5²×2+3.14×5×2×12=533.8(平方厘米) 提示:根据“高减少3厘米,那么它的表面积就比原来减少94.2平方厘米”可知,减少的94.2平方厘米是3厘米高的圆柱的侧面积,由此可求出圆柱的底面半径,进而可求出原来的圆柱的表面积。
解析：
底面周长：$94.2÷3 = 31.4$（厘米）
底面半径：$31.4÷3.14÷2=5$（厘米）
底面积：$3.14×5^{2}=78.5$（平方厘米）
侧面积：$31.4×12 = 376.8$（平方厘米）
表面积：$78.5×2 + 376.8=533.8$（平方厘米）
答：原来圆柱的表面积是$533.8$平方厘米。
底面半径：$31.4÷3.14÷2=5$（厘米）
底面积：$3.14×5^{2}=78.5$（平方厘米）
侧面积：$31.4×12 = 376.8$（平方厘米）
表面积：$78.5×2 + 376.8=533.8$（平方厘米）
答：原来圆柱的表面积是$533.8$平方厘米。
9. 把一个正方体木块削成一个最大的圆柱，如果圆柱的侧面积是314平方厘米，正方体木块的表面积是多少平方厘米？
答案：9. 314÷3.14×6=600(平方厘米) 提示:把一个正方体木块削成一个体积最大的圆柱,则圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长。假设正方体的棱长为a,根据“圆柱的侧面积=底面周长×高”可得π×a²=314,由此可求出a²的值,即为正方体一个面的面积,最后再求出正方体的表面积。
解析：
设正方体的棱长为$a$厘米。
圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长$a$，则圆柱底面周长为$π a$，侧面积为$π a × a = π a^2$。
已知圆柱侧面积是$314$平方厘米，可得$π a^2 = 314$，$a^2 = 314÷3.14 = 100$。
正方体表面积为$6a^2 = 6×100 = 600$平方厘米。
600
圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长$a$，则圆柱底面周长为$π a$，侧面积为$π a × a = π a^2$。
已知圆柱侧面积是$314$平方厘米，可得$π a^2 = 314$，$a^2 = 314÷3.14 = 100$。
正方体表面积为$6a^2 = 6×100 = 600$平方厘米。
600
10. 长10厘米，直径2厘米的两根圆柱捆成一捆(如图)，用一张纸将这捆圆柱侧面包起来(纸要绷紧，不考虑接头处)，至少需要多大面积的纸？
答案：
10. 2×3.14+2×2=10.28(厘米) 10.28×10=102.8(平方厘米) 提示:从底面看形状为
,纸的一边长是圆的周长加两个直径,另一边长等于圆柱的高。
10. 2×3.14+2×2=10.28(厘米) 10.28×10=102.8(平方厘米) 提示:从底面看形状为
,纸的一边长是圆的周长加两个直径,另一边长等于圆柱的高。11. 制作如图所示的排烟管，至少需要多少平方厘米的铁皮？(接头处损耗不计)
答案：11. 2.8米=280厘米 3.14×5×(48+280-5)=5071.1(平方厘米) 提示:由题意可知,排烟管是空心管,所以只需要计算排烟管的侧面积。如图,排烟管可以看作是两个圆柱的组合体,一段是高2.8米的圆柱,一段是高48厘米的圆柱,接头处是一个直径和高都是5厘米的圆柱,所以排烟管可以看成是高48+280-5=323(厘米)的圆柱,根据圆柱侧面积计算公式计算即可。
解析：
2.8米=280厘米
$48 + 280 - 5 = 323$（厘米）
$3.14 × 5 × 323 = 5071.1$（平方厘米）
$48 + 280 - 5 = 323$（厘米）
$3.14 × 5 × 323 = 5071.1$（平方厘米）
12. 一段圆柱形木料，如果截成两个小圆柱，它的表面积将增加157平方厘米；如果沿着底面直径垂直截成两个半圆柱，它的表面积将增加300平方厘米。求原来圆柱的表面积。
答案：12. 157+300÷2×3.14=628(平方厘米) 提示:把圆柱截成两个小圆柱,会增加两个底面,因此157平方厘米是两个底面面积之和;如果沿着底面直径垂直截成两个半圆柱,将增加两个长方形,即其中一个长方形的面积为300÷2=150(平方厘米),而这个长方形的面积=底面直径×高,圆柱的侧面积=底面周长×高=π×底面直径×高,进而可求出圆柱的侧面积。然后用两个底面积的和加上侧面积,就能求出原来圆柱的表面积。
解析：
两个底面面积之和：157平方厘米
一个长方形面积：$300÷2 = 150$平方厘米
长方形面积 = 底面直径×高，圆柱侧面积 = 底面周长×高 = $π×$底面直径×高 = $π×150$
侧面积：$3.14×150 = 471$平方厘米
原来圆柱表面积 = 两个底面面积之和 + 侧面积 = $157 + 471 = 628$平方厘米
答：原来圆柱的表面积是628平方厘米。
一个长方形面积：$300÷2 = 150$平方厘米
长方形面积 = 底面直径×高，圆柱侧面积 = 底面周长×高 = $π×$底面直径×高 = $π×150$
侧面积：$3.14×150 = 471$平方厘米
原来圆柱表面积 = 两个底面面积之和 + 侧面积 = $157 + 471 = 628$平方厘米
答：原来圆柱的表面积是628平方厘米。
13. 如图，一段圆柱形圆钢，底面直径是8分米，高是6分米，在它的上面正中间向下凿一个底面直径是4分米、高是2分米的小洞，接着在小洞的底面再向下凿一个底面直径是2分米、高是2分米的小洞，再接着在第2个小洞的底面向下凿一个底面直径是1分米、高是2分米的小洞(下底面被凿穿)，现在这个立体图形的表面积是多少平方分米？
答案：13. 3.14×8×6+3.14×(8÷2)²×2+3.14×(4+2+1)×2-3.14×(1÷2)²×2=293.59(平方分米) 提示:将凿洞后里面朝上的面向上平移,拼在一起,这就相当于把原来圆柱的上底面补了一部分,上底面所剩的小洞直径是1分米。要求现在这个立体图形的表面积,需要用原来圆柱的表面积加上挖洞后增加的三个小圆柱的侧面积,然后减去两个直径是1分米的圆的面积。
解析：
原来圆柱的侧面积：$3.14×8×6 = 150.72$（平方分米）
原来圆柱的底面积：$3.14×(8÷2)^2×2 = 3.14×16×2 = 100.48$（平方分米）
三个小圆柱的侧面积之和：$3.14×(4 + 2 + 1)×2 = 3.14×7×2 = 43.96$（平方分米）
需要减去的两个直径为1分米的圆的面积：$3.14×(1÷2)^2×2 = 3.14×0.25×2 = 1.57$（平方分米）
现在立体图形的表面积：$150.72 + 100.48 + 43.96 - 1.57 = 293.59$（平方分米）
答：现在这个立体图形的表面积是$293.59$平方分米。
原来圆柱的底面积：$3.14×(8÷2)^2×2 = 3.14×16×2 = 100.48$（平方分米）
三个小圆柱的侧面积之和：$3.14×(4 + 2 + 1)×2 = 3.14×7×2 = 43.96$（平方分米）
需要减去的两个直径为1分米的圆的面积：$3.14×(1÷2)^2×2 = 3.14×0.25×2 = 1.57$（平方分米）
现在立体图形的表面积：$150.72 + 100.48 + 43.96 - 1.57 = 293.59$（平方分米）
答：现在这个立体图形的表面积是$293.59$平方分米。