例 2
如图,将这个直角梯形绕其与底边垂直的腰所在的直线旋转一周,得到的几何体的体积是多少立方厘米?
如图,将这个直角梯形绕其与底边垂直的腰所在的直线旋转一周,得到的几何体的体积是多少立方厘米?
答案：以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是一个圆台。
圆台的体积公式为$V = \frac{1}{3}π h(R^2 + Rr + r^2)$，其中$h$为圆台的高，$R$为下底面半径，$r$为上底面半径。
由图可知，$h$为旋转轴的长度，即梯形的高；$R = b$，$r = a$。
所以体积$V=\frac{1}{3}π h(b^2 + ab + a^2)$ $cm^3$。
圆台的体积公式为$V = \frac{1}{3}π h(R^2 + Rr + r^2)$，其中$h$为圆台的高，$R$为下底面半径，$r$为上底面半径。
由图可知，$h$为旋转轴的长度，即梯形的高；$R = b$，$r = a$。
所以体积$V=\frac{1}{3}π h(b^2 + ab + a^2)$ $cm^3$。
记小圆锥的高为 $ x $ 厘米,把小直角三角形看作大直角三角形按 $ a : b $ 的比缩小后的图形,则 $ \frac { x } { a } = \frac { x + h } { b } $,所以 $ x = \frac { a h } { b - a } $,即小圆锥的高是 $ \frac { a h } { b - a } $ 厘米,大圆锥的高是(
因此,小圆锥的体积为 $ \frac { 1 } { 3 } × π × ( ) ^ { 2 } × ( ) = ( ) $(立方厘米)。
圆台的体积:
$\frac{bh}{b - a}$
)厘米。因此,小圆锥的体积为 $ \frac { 1 } { 3 } × π × ( ) ^ { 2 } × ( ) = ( ) $(立方厘米)。
圆台的体积:
答案：例2 我的尝试 $\frac{bh}{b - a}$ $a$ $\frac{ah}{b - a}$ $\frac{1}{3}π\frac{a^{3}h}{b - a}$
$\frac{1}{3}×π× b^{2}×\frac{bh}{b - a}-\frac{1}{3}π\frac{a^{3}h}{b - a}=\frac{1}{3}π\frac{b^{3}-a^{3}}{b - a}h$（立方厘米）
$\frac{1}{3}×π× b^{2}×\frac{bh}{b - a}-\frac{1}{3}π\frac{a^{3}h}{b - a}=\frac{1}{3}π\frac{b^{3}-a^{3}}{b - a}h$（立方厘米）
计算如图的梯形绕其与底边垂直的腰所在的直线旋转一周得到的几何体的体积。(单位:厘米)
答案：拓展实践
$\frac{1}{3}×π×6×(10^{3}-7.5^{3})÷(10 - 7.5)=1452.25$（立方厘米）
提示：由题可知，$b = 10$，$a = 7.5$，$h = 6$，代入圆台的体积公式$V=\frac{1}{3}π\frac{b^{3}-a^{3}}{b - a}h$计算即可。
$\frac{1}{3}×π×6×(10^{3}-7.5^{3})÷(10 - 7.5)=1452.25$（立方厘米）
提示：由题可知，$b = 10$，$a = 7.5$，$h = 6$，代入圆台的体积公式$V=\frac{1}{3}π\frac{b^{3}-a^{3}}{b - a}h$计算即可。