例 2
如图,将这个直角梯形绕其与底边垂直的腰所在的直线旋转一周,得到的几何体的体积是多少立方厘米?
我来画图
画出旋转后的图形,再将其补成圆锥:
我的思考
用同样的方法计算圆锥的体积,需要知道小圆锥的高,要如何计算呢?
把直角梯形补成直角三角形试试!
我的尝试
记小圆锥的高为 $ x $ 厘米,把小直角三角形看作大直角三角形按 $ a : b $ 的比缩小后的图形,则 $ \frac { x } { a } = \frac { x + h } { b } $,所以 $ x = \frac { a h } { b - a } $,即小圆锥的高是 $ \frac { a h } { b - a } $ 厘米,大圆锥的高是(
因此,小圆锥的体积为 $ \frac { 1 } { 3 } × π × ( ) ^ { 2 } × ( ) = ( ) $(立方厘米)。
圆台的体积:
我的发现
圆台的体积公式为 $ V = \frac { 1 } { 3 } π \frac { b ^ { 3 } - a ^ { 3 } } { b - a } h $(其中 $ a $ 为上底面半径,$ b $ 为下底面半径,$ h $ 为高),事实上,由于 $ b ^ { 3 } - a ^ { 3 } = ( b - a ) ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } ) $,圆台体积公式也写作 $ V = \frac { 1 } { 3 } π h ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } ) $。
如图,将这个直角梯形绕其与底边垂直的腰所在的直线旋转一周,得到的几何体的体积是多少立方厘米?
我来画图
画出旋转后的图形,再将其补成圆锥:
我的思考
用同样的方法计算圆锥的体积,需要知道小圆锥的高,要如何计算呢?
把直角梯形补成直角三角形试试!
我的尝试
记小圆锥的高为 $ x $ 厘米,把小直角三角形看作大直角三角形按 $ a : b $ 的比缩小后的图形,则 $ \frac { x } { a } = \frac { x + h } { b } $,所以 $ x = \frac { a h } { b - a } $,即小圆锥的高是 $ \frac { a h } { b - a } $ 厘米,大圆锥的高是(
$\frac{bh}{b - a}$
)厘米。因此,小圆锥的体积为 $ \frac { 1 } { 3 } × π × ( ) ^ { 2 } × ( ) = ( ) $(立方厘米)。
圆台的体积:
我的发现
圆台的体积公式为 $ V = \frac { 1 } { 3 } π \frac { b ^ { 3 } - a ^ { 3 } } { b - a } h $(其中 $ a $ 为上底面半径,$ b $ 为下底面半径,$ h $ 为高),事实上,由于 $ b ^ { 3 } - a ^ { 3 } = ( b - a ) ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } ) $,圆台体积公式也写作 $ V = \frac { 1 } { 3 } π h ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } ) $。
答案：例 2 我的尝试
$\frac{bh}{b - a}$ $a$ $\frac{ah}{b - a}$ $\frac{1}{3}π\frac{a^{3}h}{b - a}$
$\frac{1}{3}×π× b^{2}×\frac{bh}{b - a}-\frac{1}{3}π\frac{a^{3}h}{b - a}=\frac{1}{3}π\frac{b^{3}-a^{3}}{b - a}h$（立方厘米）
$\frac{bh}{b - a}$ $a$ $\frac{ah}{b - a}$ $\frac{1}{3}π\frac{a^{3}h}{b - a}$
$\frac{1}{3}×π× b^{2}×\frac{bh}{b - a}-\frac{1}{3}π\frac{a^{3}h}{b - a}=\frac{1}{3}π\frac{b^{3}-a^{3}}{b - a}h$（立方厘米）
解析：
根据题意，原图形为直角梯形，以垂直于两底的腰所在直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是圆台。将圆台的母线延长相交于一点，即可补成一个圆锥。图形依次为直角梯形、旋转后的圆台、补成圆锥的图形（如题目中图片所示）。
计算如图的梯形绕其与底边垂直的腰所在的直线旋转一周得到的几何体的体积。(单位:厘米)
答案：拓展实践
$\frac{1}{3}×π×6×(10^{3}-7.5^{3})÷(10 - 7.5)=1452.25$（立方厘米）
提示：由题可知，$b = 10$，$a = 7.5$，$h = 6$，代入圆台的体积公式$V=\frac{1}{3}π\frac{b^{3}-a^{3}}{b - a}h$计算即可。
$\frac{1}{3}×π×6×(10^{3}-7.5^{3})÷(10 - 7.5)=1452.25$（立方厘米）
提示：由题可知，$b = 10$，$a = 7.5$，$h = 6$，代入圆台的体积公式$V=\frac{1}{3}π\frac{b^{3}-a^{3}}{b - a}h$计算即可。