例 2
如图，在三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边上的中点，$E$ 是 $AB$ 边上的一个三等分点，且 $E$ 更靠近点 $B$，那么三角形 $EBD$ 和三角形 $ABC$ 的面积之比是多少？
如图，在三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边上的中点，$E$ 是 $AB$ 边上的一个三等分点，且 $E$ 更靠近点 $B$，那么三角形 $EBD$ 和三角形 $ABC$ 的面积之比是多少？
答案：例2 我的尝试 $ 1 $ $ 2 $ $ 1 $ $ 3 $ $ 1 $ $ 6 $ 连接 $ EC $，则三角形 $ BEC $ 与三角形 $ ABC $ 的面积之比是 $ 1:3 $，三角形 $ EBD $ 与三角形 $ BEC $ 的面积之比是 $ 1:2 $，所以三角形 $ EBD $ 和三角形 $ ABC $ 的面积之比是 $ 1:6 $。
解析：
连接 $ EC $。
因为 $ E $ 是 $ AB $ 边上靠近 $ B $ 的三等分点，所以 $ BE = \frac{1}{3}AB $。由于 $ △ BEC $ 和 $ △ ABC $ 等高，故 $ S_{△ BEC} = \frac{1}{3}S_{△ ABC} $，即 $ S_{△ BEC} : S_{△ ABC} = 1:3 $。
因为 $ D $ 是 $ BC $ 边上的中点，所以 $ BD = \frac{1}{2}BC $。由于 $ △ EBD $ 和 $ △ EBC $ 等高，故 $ S_{△ EBD} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} $，即 $ S_{△ EBD} : S_{△ BEC} = 1:2 $。
因此，$ S_{△ EBD} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3}S_{△ ABC} = \frac{1}{6}S_{△ ABC} $，所以 $ S_{△ EBD} : S_{△ ABC} = 1:6 $。
答案：$ 1:6 $
因为 $ E $ 是 $ AB $ 边上靠近 $ B $ 的三等分点，所以 $ BE = \frac{1}{3}AB $。由于 $ △ BEC $ 和 $ △ ABC $ 等高，故 $ S_{△ BEC} = \frac{1}{3}S_{△ ABC} $，即 $ S_{△ BEC} : S_{△ ABC} = 1:3 $。
因为 $ D $ 是 $ BC $ 边上的中点，所以 $ BD = \frac{1}{2}BC $。由于 $ △ EBD $ 和 $ △ EBC $ 等高，故 $ S_{△ EBD} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} $，即 $ S_{△ EBD} : S_{△ BEC} = 1:2 $。
因此，$ S_{△ EBD} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3}S_{△ ABC} = \frac{1}{6}S_{△ ABC} $，所以 $ S_{△ EBD} : S_{△ ABC} = 1:6 $。
答案：$ 1:6 $
三角形 $ABC$ 和三角形 $EBD$ 有什么共同的特征吗？
能用上面的“等高模型”来解决问题吗？
能用上面的“等高模型”来解决问题吗？
答案：$ △ ABC $和$ △ EBD$ 有一个共同的特征，即它们共享同一个高度。
从图中可以看出，$BD$是$ △ EBD$ 的底边，同时也是$ △ ABC$ 中$ BC$ 边的一部分，两个三角形的高度都是从顶点$ A $和顶点$ E $垂直于$ BC$ 和$ BD$ 的线段。
因此，这两个三角形的高度是相同的。
能用上面的“等高模型”来解决问题。
从图中可以看出，$BD$是$ △ EBD$ 的底边，同时也是$ △ ABC$ 中$ BC$ 边的一部分，两个三角形的高度都是从顶点$ A $和顶点$ E $垂直于$ BC$ 和$ BD$ 的线段。
因此，这两个三角形的高度是相同的。
能用上面的“等高模型”来解决问题。
如图，连接 $AD$，在三角形 $ABC$ 中，由“等高模型”可知，三角形 $ABD$ 与三角形 $ABC$ 的面积之比是(
1
):(2
)；同理，在三角形 $ABD$ 中，三角形 $EBD$ 与三角形 $ABD$ 的面积之比是(1
):(3
)。因此三角形 $EBD$ 和三角形 $ABC$ 的面积之比是(1
):(6
)。答案：例2 我的尝试 $ 1 $ $ 2 $ $ 1 $ $ 3 $ $ 1 $ $ 6 $ 连接 $ EC $，则三角形 $ BEC $ 与三角形 $ ABC $ 的面积之比是 $ 1:3 $，三角形 $ EBD $ 与三角形 $ BEC $ 的面积之比是 $ 1:2 $，所以三角形 $ EBD $ 和三角形 $ ABC $ 的面积之比是 $ 1:6 $。
如图，在三角形 $ABC$ 中，点 $D$ 是 $AB$ 的三等分点，$AD = 2BD$，$E$ 是 $BC$ 边的中点。设三角形 $ADF$ 的面积为 $S_1$，三角形 $CEF$ 的面积为 $S_2$，若三角形 $ABC$ 的面积是 $24$ 平方厘米，求 $S_1 - S_2$ 的值。
答案：拓展实践
$ S_{1}-S_{2}=(S_{1}+$ 四边形 $ DBEF $ 的面积 $ )-(S_{2}+$ 四边形 $ DBEF $ 的面积 $ )=$ 三角形 $ ABE $ 的面积 $ -$ 三角形 $ CBD $ 的面积，三角形 $ CBD $ 的面积 $ =\frac{1}{3}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积，三角形 $ ABE $ 的面积 $ =\frac{1}{2}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积，$ S_{1}-S_{2}=\frac{1}{2}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积 $ -\frac{1}{3}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积 $ =\frac{1}{6}×24=4 $（平方厘米）。
提示：由题图可知，$ S_{1}-S_{2}=(S_{1}+$ 四边形 $ DBEF $ 的面积 $ )-(S_{2}+$ 四边形 $ DBEF $ 的面积 $ )=$ 三角形 $ ABE $ 的面积 $ -$ 三角形 $ CBD $ 的面积。因为 $ AD=2BD $，点 $ E $ 为 $ BC $ 的中点，所以三角形 $ CBD $ 的面积 $ =\frac{1}{3}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积，三角形 $ ABE $ 的面积 $ =\frac{1}{2}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积，所以 $ S_{1}-S_{2}=\frac{1}{2}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积 $ -\frac{1}{3}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积 $ =\frac{1}{6}×24=4 $（平方厘米）。
$ S_{1}-S_{2}=(S_{1}+$ 四边形 $ DBEF $ 的面积 $ )-(S_{2}+$ 四边形 $ DBEF $ 的面积 $ )=$ 三角形 $ ABE $ 的面积 $ -$ 三角形 $ CBD $ 的面积，三角形 $ CBD $ 的面积 $ =\frac{1}{3}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积，三角形 $ ABE $ 的面积 $ =\frac{1}{2}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积，$ S_{1}-S_{2}=\frac{1}{2}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积 $ -\frac{1}{3}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积 $ =\frac{1}{6}×24=4 $（平方厘米）。
提示：由题图可知，$ S_{1}-S_{2}=(S_{1}+$ 四边形 $ DBEF $ 的面积 $ )-(S_{2}+$ 四边形 $ DBEF $ 的面积 $ )=$ 三角形 $ ABE $ 的面积 $ -$ 三角形 $ CBD $ 的面积。因为 $ AD=2BD $，点 $ E $ 为 $ BC $ 的中点，所以三角形 $ CBD $ 的面积 $ =\frac{1}{3}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积，三角形 $ ABE $ 的面积 $ =\frac{1}{2}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积，所以 $ S_{1}-S_{2}=\frac{1}{2}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积 $ -\frac{1}{3}×$ 三角形 $ ABC $ 的面积 $ =\frac{1}{6}×24=4 $（平方厘米）。