4. 规律探究题 (1)如图,有一块直角三角板XYZ放置在三角形ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C,在三角形ABC中,$∠A=30^{\circ}$,则$∠ABC+∠ACB=$
(2)如图,改变直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C,那么$∠ABX+∠ACX$的大小是否变化? 若变化,请举例说明;若不变化,请求出$∠ABX+∠ACX$的大小。
150
°, $∠XBC+∠XCB=$90
°。(2)如图,改变直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C,那么$∠ABX+∠ACX$的大小是否变化? 若变化,请举例说明;若不变化,请求出$∠ABX+∠ACX$的大小。
答案：4. (1) 150 90
提示：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=150°，∠XBC+∠XCB=180°−∠X=90°。
(2) 没有变化。因为∠A=30°，所以∠ABC+∠ACB=150°。因为∠X=90°，所以∠XBC+∠XCB=90°，所以∠ABX+∠ACX=(∠ABC−∠XBC)+(∠ACB−∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)−(∠XBC+∠XCB)=150°−90°=60°。
提示：本题解题关键在于找到不变量，即三角形内角和，所以∠ABC+∠ACB的结果和∠XBC+∠XCB的结果不变，分别为150°和90°，进而将∠ABX和∠ACX用已知量表示出来即可。
提示：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=150°，∠XBC+∠XCB=180°−∠X=90°。
(2) 没有变化。因为∠A=30°，所以∠ABC+∠ACB=150°。因为∠X=90°，所以∠XBC+∠XCB=90°，所以∠ABX+∠ACX=(∠ABC−∠XBC)+(∠ACB−∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)−(∠XBC+∠XCB)=150°−90°=60°。
提示：本题解题关键在于找到不变量，即三角形内角和，所以∠ABC+∠ACB的结果和∠XBC+∠XCB的结果不变，分别为150°和90°，进而将∠ABX和∠ACX用已知量表示出来即可。
5. 动点问题 如图,正方形ABCD的边长为2厘米,在对称中心O处有一钉子。动点P、Q同时从点A出发,点P沿A→B→C→D方向以每秒2厘米的速度运动,到点D停止;点Q沿A→D方向以每秒1厘米的速度运动,到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接,设x秒后橡皮筋扫过的面积为y平方厘米。
(1)当橡皮筋刚好触及钉子时,x=(
(2)当$x=\frac{5}{3}$时,y=(
(3)从橡皮筋触及钉子到运动停止的过程中,当$∠POQ$为直角时,x=(
(1)当橡皮筋刚好触及钉子时,x=(
4/3
)。(2)当$x=\frac{5}{3}$时,y=(
5/2
)。(3)从橡皮筋触及钉子到运动停止的过程中,当$∠POQ$为直角时,x=(
2
)。答案：5. (1) 4/3 (2) 5/2 (3) 2
提示：(1)当橡皮筋刚好触及钉子时，PQ为一条过对称中心O的线段，其中点P位于BC边上，点Q位于AD边上，此时PQ将正方形ABCD分为两个完全一样的梯形，则PC=AQ，即2+2−2x=x，解得x=4/3。(2)当x=5/3时，BP=2x−2=4/3(厘米)，AQ=x=5/3厘米，$S_{五边形AQOPB}=[(1+4/3)×1÷2]+[(1+5/3)×1÷2]=5/2($平方厘米)。(3)点P运动到点C，点Q运动到点D，两点运动的时间相同，∠POQ也就是∠COD，为直角，此时点P运动了2+2=4(厘米)，点Q运动了2厘米，因此x的值为2。
提示：(1)当橡皮筋刚好触及钉子时，PQ为一条过对称中心O的线段，其中点P位于BC边上，点Q位于AD边上，此时PQ将正方形ABCD分为两个完全一样的梯形，则PC=AQ，即2+2−2x=x，解得x=4/3。(2)当x=5/3时，BP=2x−2=4/3(厘米)，AQ=x=5/3厘米，$S_{五边形AQOPB}=[(1+4/3)×1÷2]+[(1+5/3)×1÷2]=5/2($平方厘米)。(3)点P运动到点C，点Q运动到点D，两点运动的时间相同，∠POQ也就是∠COD，为直角，此时点P运动了2+2=4(厘米)，点Q运动了2厘米，因此x的值为2。
6. 转化思想 “某班35人分两组进行跳绳比赛。第1小组15人,平均每人跳40下;第2小组20人,平均每人比全班同学跳的平均数还要多6下,全班同学平均每人跳多少下?”小明刚看到这道题,感觉非常难。为了解决这个问题,他画了一幅示意图(如图),画完,他发现只要三步就能算出正确结果。
①$20×6=120$(下)
②
③$40+8=48$(下)
答:全班同学平均每人跳48下。
请你根据小明画的图和已有的两步算式完成任务:
(1)把示意图所有括号内的数据补充完整。
(2)示意图哪个区域可以表示“第1小组一共跳了多少下”? 请你在图中正确的区域写上“第1小组跳绳总数”。
(3)示意图哪两个区域的大小都能表示小明第①步计算的结果? 请用铅笔涂上阴影。
(4)在横线上把小明同学第②步的算式补充完整。
①$20×6=120$(下)
②
120÷15=8(下)
③$40+8=48$(下)
答:全班同学平均每人跳48下。
请你根据小明画的图和已有的两步算式完成任务:
(1)把示意图所有括号内的数据补充完整。
(2)示意图哪个区域可以表示“第1小组一共跳了多少下”? 请你在图中正确的区域写上“第1小组跳绳总数”。
(3)示意图哪两个区域的大小都能表示小明第①步计算的结果? 请用铅笔涂上阴影。
(4)在横线上把小明同学第②步的算式补充完整。
答案：
6. (1)~(3)如图。
(4) 120÷15=8(下)
提示：(1)移多补少部分的总数是20×6=120(下)，这120下补给15人，这15人平均每人分得120÷15=8(下)，则此时每个人相当于跳了40+8=48(下)，也就是全班平均每人跳48下；实际上第2小组平均每人跳48+6=54(下)。
(2)标注15人的部分表示“第1小组跳绳总数”。
(3)用移多补少连接的两部分都能表示小明第①步计算的结果。
(4)第②步算式为120÷15=8(下)。
6. (1)~(3)如图。
(4) 120÷15=8(下)
提示：(1)移多补少部分的总数是20×6=120(下)，这120下补给15人，这15人平均每人分得120÷15=8(下)，则此时每个人相当于跳了40+8=48(下)，也就是全班平均每人跳48下；实际上第2小组平均每人跳48+6=54(下)。
(2)标注15人的部分表示“第1小组跳绳总数”。
(3)用移多补少连接的两部分都能表示小明第①步计算的结果。
(4)第②步算式为120÷15=8(下)。
7. 归纳法 同学们在学习《圆柱与圆锥》单元时,用一张长方形纸卷成两个大小不同的圆柱,分别算出体积,从而知道怎样卷圆柱的体积比较大。你能运用已有的探索经验试着解决下面的问题吗?
(1)有两张长16厘米,宽4厘米的长方形纸,分别按照第一幅图的步骤操作,将其中一张横着卷成圆柱①,另一张竖着卷成圆柱②,圆柱(
(2)将这两张长方形纸,再分别按照第二幅图的步骤操作,得到圆柱③和圆柱④,估一估,圆柱(
(3)汇总四个圆柱的有关数据,你发现了什么?(表格中结果保留两位小数)
我发现:侧面积相同时,半径越大,体积越(
(1)有两张长16厘米,宽4厘米的长方形纸,分别按照第一幅图的步骤操作,将其中一张横着卷成圆柱①,另一张竖着卷成圆柱②,圆柱(
①
)的体积较大。(填序号)(2)将这两张长方形纸,再分别按照第二幅图的步骤操作,得到圆柱③和圆柱④,估一估,圆柱(
④
)的体积较大。(填序号)(3)汇总四个圆柱的有关数据,你发现了什么?(表格中结果保留两位小数)
我发现:侧面积相同时,半径越大,体积越(
大
)。答案：7. (1) ①
提示：分别求出两个圆柱的体积，再比较大小即可。
(2) ④
提示：圆柱③的底面半径约是0.32厘米，高是32厘米，体积是π×0.32²×32=3.2768π(立方厘米)；圆柱④的底面半径约是1.27厘米，高是8厘米，体积是π×1.27²×8=12.9032π(立方厘米)，12.9032π＞3.2768π，所以圆柱④的体积较大。
(3)
圆柱 ① ② ③ ④
底面半径/cm 2.55 0.64 0.32 1.27
底面周长/cm 16 4 2 8
高/cm 4 16 32 8
侧面积/cm² 64 64 64 64
体积/cm³ 81.67 20.58 10.29 40.52 大
提示：分别计算出不同卷法的各项数据，观察数据发现规律。
提示：分别求出两个圆柱的体积，再比较大小即可。
(2) ④
提示：圆柱③的底面半径约是0.32厘米，高是32厘米，体积是π×0.32²×32=3.2768π(立方厘米)；圆柱④的底面半径约是1.27厘米，高是8厘米，体积是π×1.27²×8=12.9032π(立方厘米)，12.9032π＞3.2768π，所以圆柱④的体积较大。
(3)
圆柱 ① ② ③ ④
底面半径/cm 2.55 0.64 0.32 1.27
底面周长/cm 16 4 2 8
高/cm 4 16 32 8
侧面积/cm² 64 64 64 64
体积/cm³ 81.67 20.58 10.29 40.52 大
提示：分别计算出不同卷法的各项数据，观察数据发现规律。