10. 符号意识 哈沙德数是指一个整数除以其各个数位上的数之和,结果没有余数的数,下图中晨晨设计了一个程序,判断该数是否为哈沙德数。晨晨尝试输入数据870,根据程序输出的结果是(
58
),则870是哈沙德数。答案：10. 58
提示：870÷(8+7+0)=58。
提示：870÷(8+7+0)=58。
11. 几何直观 如图①,直角三角形ABC中,AB=5厘米,BC=4厘米,AC=3厘米。将三角形ABC以点A为中心顺时针旋转90°得到三角形AB'C'。
(1)图②的涂色部分是AB边在旋转过程中扫过的区域,面积是(
(2)图③的涂色部分是AC边在旋转过程中扫过的区域,面积是(
(3)图④的涂色部分是BC边在旋转过程中扫过的区域,面积是(
(1)图②的涂色部分是AB边在旋转过程中扫过的区域,面积是(
19.625
)平方厘米。(2)图③的涂色部分是AC边在旋转过程中扫过的区域,面积是(
7.065
)平方厘米。(3)图④的涂色部分是BC边在旋转过程中扫过的区域,面积是(
12.56
)平方厘米。答案：11. (1) 19.625 (2) 7.065 (3) 12.56
提示：(1)AB边在旋转过程中扫过的区域为以AB边为半径的1/4圆，涂色部分的面积为3.14×5²×1/4=19.625(平方厘米)。
(2)AC边在旋转过程中扫过的区域为以AC边为半径的1/4圆，涂色部分的面积为3.14×3²×1/4=7.065(平方厘米)。
(3)图形AC'B'B的面积等于以AB边为半径的1/4圆的面积加上三角形AB'C'的面积，涂色部分面积=图形AC'B'B的面积−三角形ABC的面积−以AC边为半径的1/4圆的面积，三角形AB'C'的面积与三角形ABC的面积相等，所以涂色部分面积=以AB边为半径的1/4圆的面积−以AC边为半径的1/4圆的面积，即为19.625−7.065=12.56(平方厘米)。
提示：(1)AB边在旋转过程中扫过的区域为以AB边为半径的1/4圆，涂色部分的面积为3.14×5²×1/4=19.625(平方厘米)。
(2)AC边在旋转过程中扫过的区域为以AC边为半径的1/4圆，涂色部分的面积为3.14×3²×1/4=7.065(平方厘米)。
(3)图形AC'B'B的面积等于以AB边为半径的1/4圆的面积加上三角形AB'C'的面积，涂色部分面积=图形AC'B'B的面积−三角形ABC的面积−以AC边为半径的1/4圆的面积，三角形AB'C'的面积与三角形ABC的面积相等，所以涂色部分面积=以AB边为半径的1/4圆的面积−以AC边为半径的1/4圆的面积，即为19.625−7.065=12.56(平方厘米)。
12. 推理意识 我国古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图①所示)”这一推论,数学家从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证。
(1)请根据图①完成这个推论的证明过程:
证明:$S_{长方形NFGD}=S_{三角形ADC}-(S_{三角形ANF}+S_{三角形FCG})$,$S_{长方形EBMF}=S_{三角形ABC}-$(
(2)如图②,点P是长方形ABCD的对角线BD上一点,过点P作EF//BC分别交AB、CD于点E、F,连接PA、PC。若PE=6厘米,DF=5厘米,则图中涂色部分的面积是(
(1)请根据图①完成这个推论的证明过程:
证明:$S_{长方形NFGD}=S_{三角形ADC}-(S_{三角形ANF}+S_{三角形FCG})$,$S_{长方形EBMF}=S_{三角形ABC}-$(
$S_{三角形AEF}$
+$S_{三角形FMC}$
),易知$S_{三角形ADC}=S_{三角形ABC}$,$S_{三角形ANF}=$($S_{三角形AEF}$
),$S_{三角形FCG}=$($S_{三角形FMC}$
),可得$S_{长方形NFGD}=S_{长方形EBMF}$。(2)如图②,点P是长方形ABCD的对角线BD上一点,过点P作EF//BC分别交AB、CD于点E、F,连接PA、PC。若PE=6厘米,DF=5厘米,则图中涂色部分的面积是(
30
)平方厘米。答案：
$12. (1) S_{三角形AEF} S_{三角形FMC} S_{三角形AEF} S_{三角形FMC}$
提示：根据长方形的特征推理即可。
(2) 30
提示：如图，过点P作PM⊥AD于点M，延长MP交BC于点N，则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是长方形，所以PM=DF=5厘米，同(1)得$S_{长方形AEPM}=S_{长方形CFPN}$，$S_{三角形AEP}=S_{三角形AMP}$，$S_{三角形CFP}=S_{三角形CNP}$，即$S_{三角形AEP}=S_{三角形CFP}=1/2PE·AE=1/2×6×5=15($平方厘米)，所以图中阴影部分的面积为15+15=30(平方厘米)。
$12. (1) S_{三角形AEF} S_{三角形FMC} S_{三角形AEF} S_{三角形FMC}$
提示：根据长方形的特征推理即可。
(2) 30
提示：如图，过点P作PM⊥AD于点M，延长MP交BC于点N，则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是长方形，所以PM=DF=5厘米，同(1)得$S_{长方形AEPM}=S_{长方形CFPN}$，$S_{三角形AEP}=S_{三角形AMP}$，$S_{三角形CFP}=S_{三角形CNP}$，即$S_{三角形AEP}=S_{三角形CFP}=1/2PE·AE=1/2×6×5=15($平方厘米)，所以图中阴影部分的面积为15+15=30(平方厘米)。