一、填空题。
1. 2025年上半年的电影票房数是一个十一位数，它的最高位和亿位上的数既是偶数也是质数，十亿位上的数为最大的一位数，千万位上的数的最小倍数为3，百万位上的数既不是质数也不是合数，其余各位上是0，这个数读作(
1. 2025年上半年的电影票房数是一个十一位数，它的最高位和亿位上的数既是偶数也是质数，十亿位上的数为最大的一位数，千万位上的数的最小倍数为3，百万位上的数既不是质数也不是合数，其余各位上是0，这个数读作(
二百九十二亿三千一百万
)，精确到“亿”位是(292
)亿。如果要了解上半年每月票房数的变化情况，可以绘制成(折线
)统计图。答案：1. 二百九十二亿三千一百万 292 折线
2. $\frac{6}{(\quad)}=15:(\quad)=9÷24=(\quad)\%$
答案：2. 16 40 37.5
3. 六年级的哥哥和三年级的弟弟做同一道除法题，哥哥的计算结果是$\frac{7}{2}$，弟弟的计算结果是3……2，他俩的计算结果都正确，则这道除法题中的除数是(
4
)。答案：3. 4
解析：
设除数为$x$，被除数为$y$。
哥哥的计算结果是$\frac{7}{2}$，即$y÷ x=\frac{7}{2}$，所以$y = \frac{7}{2}x$。
弟弟的计算结果是$3······2$，即$y = 3x + 2$。
则$\frac{7}{2}x=3x + 2$，
$\frac{7}{2}x - 3x=2$，
$\frac{7}{2}x - \frac{6}{2}x=2$，
$\frac{1}{2}x=2$，
$x=4$。
4
哥哥的计算结果是$\frac{7}{2}$，即$y÷ x=\frac{7}{2}$，所以$y = \frac{7}{2}x$。
弟弟的计算结果是$3······2$，即$y = 3x + 2$。
则$\frac{7}{2}x=3x + 2$，
$\frac{7}{2}x - 3x=2$，
$\frac{7}{2}x - \frac{6}{2}x=2$，
$\frac{1}{2}x=2$，
$x=4$。
4
4. 从下面的扑克牌中分别抽出一张梅花和一张方块，有(
9
)种不同的抽法。抽出的两张扑克牌上的点数和是(6
)的可能性最大。答案：4. 9 6
5. 小红最近几次的数学测试平均成绩为84分，这次要考到100分，才能把平均成绩提高到88分，这是第(
4
)次测试。答案：5. 4
解析：
设这是第$n$次测试。
前$n-1$次测试的总成绩为$84(n-1)$分。
$n$次测试的总成绩为$88n$分。
根据题意可得：$84(n-1) + 100 = 88n$
$84n - 84 + 100 = 88n$
$16 = 4n$
$n = 4$
4
前$n-1$次测试的总成绩为$84(n-1)$分。
$n$次测试的总成绩为$88n$分。
根据题意可得：$84(n-1) + 100 = 88n$
$84n - 84 + 100 = 88n$
$16 = 4n$
$n = 4$
4
6. 蜡烛每分钟燃烧的长度一定，点燃10分钟后，蜡烛的长度是11厘米；点燃16分钟后，蜡烛的长度是8厘米。蜡烛最初的长度是(
16
)厘米。答案：6. 16
解析：
设蜡烛每分钟燃烧的长度为$x$厘米，最初的长度为$y$厘米。
根据题意可得：
$\begin{cases}y - 10x = 11 \\y - 16x = 8\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：
$(y - 10x) - (y - 16x) = 11 - 8$
$6x = 3$
$x = 0.5$
将$x = 0.5$代入$y - 10x = 11$：
$y - 10×0.5 = 11$
$y - 5 = 11$
$y = 16$
16
根据题意可得：
$\begin{cases}y - 10x = 11 \\y - 16x = 8\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：
$(y - 10x) - (y - 16x) = 11 - 8$
$6x = 3$
$x = 0.5$
将$x = 0.5$代入$y - 10x = 11$：
$y - 10×0.5 = 11$
$y - 5 = 11$
$y = 16$
16
7. 李叔叔从度假村开车回家用了两天时间。第一天行了全程的60%还多96千米，第二天行的路程相当于第一天的$\frac{1}{3}$。度假村与李叔叔的家相距(
640
)千米。答案：7. 640
解析：
设度假村与李叔叔的家相距$x$千米。
第一天行了$60\%x + 96$千米，第二天行了$\frac{1}{3}(60\%x + 96)$千米。
两天行的路程之和等于全程，可得方程：
$60\%x + 96 + \frac{1}{3}(60\%x + 96) = x$
化简：
$\frac{3}{5}x + 96 + \frac{1}{3}(\frac{3}{5}x + 96) = x$
$\frac{3}{5}x + 96 + \frac{1}{5}x + 32 = x$
$\frac{4}{5}x + 128 = x$
$x - \frac{4}{5}x = 128$
$\frac{1}{5}x = 128$
$x = 640$
640
第一天行了$60\%x + 96$千米，第二天行了$\frac{1}{3}(60\%x + 96)$千米。
两天行的路程之和等于全程，可得方程：
$60\%x + 96 + \frac{1}{3}(60\%x + 96) = x$
化简：
$\frac{3}{5}x + 96 + \frac{1}{3}(\frac{3}{5}x + 96) = x$
$\frac{3}{5}x + 96 + \frac{1}{5}x + 32 = x$
$\frac{4}{5}x + 128 = x$
$x - \frac{4}{5}x = 128$
$\frac{1}{5}x = 128$
$x = 640$
640
8. 一个长方体的所有棱长之和为180厘米，长、宽、高的比是$6:5:4$，把它截成两个小长方体，表面积最多可以增加(
540
)平方厘米。答案：8. 540
解析：
棱长总和为180厘米，长方体棱长和=4×(长+宽+高)，则长+宽+高=180÷4=45厘米。
长、宽、高的比是6:5:4，总份数=6+5+4=15份。
长=45×(6/15)=18厘米，宽=45×(5/15)=15厘米，高=45×(4/15)=12厘米。
把长方体截成两个小长方体，表面积增加两个截面面积，要使表面积增加最多，需截最大面，最大面为长×宽=18×15=270平方厘米。
增加的表面积=2×270=540平方厘米。
540
长、宽、高的比是6:5:4，总份数=6+5+4=15份。
长=45×(6/15)=18厘米，宽=45×(5/15)=15厘米，高=45×(4/15)=12厘米。
把长方体截成两个小长方体，表面积增加两个截面面积，要使表面积增加最多，需截最大面，最大面为长×宽=18×15=270平方厘米。
增加的表面积=2×270=540平方厘米。
540
9. 如图，一块底面直径为6厘米的圆柱形木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是(
108 平方厘米
)。答案：9. 108 平方厘米
解析：
圆柱形木头底面直径为6厘米，故底面圆的直径为6厘米。要切成最大的正方体，正方体底面为圆内接正方形，其对角线长等于圆的直径6厘米。设正方体棱长为$a$，根据正方形对角线公式$\sqrt{2}a = 6$，解得$a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$厘米。正方体表面积为$6a^2 = 6×(3\sqrt{2})^2 = 6×18 = 108$平方厘米。
108 平方厘米
108 平方厘米
10. 如图，一个圆柱形木料的底面周长是12.56厘米，将它纵切成两个半圆柱(如图)，表面积增加了48平方厘米。原来这个圆柱的侧面积是(
75.36
)平方厘米，体积是(75.36
)立方厘米。答案：10. 75.36 75.36
解析：
解：
1. 求圆柱底面半径
底面周长 $ C = 2π r = 12.56 \, \mathrm{cm} $，则 $ r = \frac{12.56}{2π} = \frac{12.56}{6.28} = 2 \, \mathrm{cm} $。
2. 求圆柱的高
纵切后表面积增加 $ 48 \, \mathrm{cm}^2 $，增加的是两个长方形面积（长为圆柱高 $ h $，宽为底面直径 $ 2r $）。
即 $ 2 × (2r × h) = 48 $，代入 $ r = 2 \, \mathrm{cm} $：
$ 2 × (4h) = 48 ⇒ 8h = 48 ⇒ h = 6 \, \mathrm{cm} $。
3. 求侧面积
侧面积 $ S_{\mathrm{侧}} = C × h = 12.56 × 6 = 75.36 \, \mathrm{cm}^2 $。
4. 求体积
体积 $ V = π r^2 h = 3.14 × 2^2 × 6 = 3.14 × 4 × 6 = 75.36 \, \mathrm{cm}^3 $。
75.36
75.36
1. 求圆柱底面半径
底面周长 $ C = 2π r = 12.56 \, \mathrm{cm} $，则 $ r = \frac{12.56}{2π} = \frac{12.56}{6.28} = 2 \, \mathrm{cm} $。
2. 求圆柱的高
纵切后表面积增加 $ 48 \, \mathrm{cm}^2 $，增加的是两个长方形面积（长为圆柱高 $ h $，宽为底面直径 $ 2r $）。
即 $ 2 × (2r × h) = 48 $，代入 $ r = 2 \, \mathrm{cm} $：
$ 2 × (4h) = 48 ⇒ 8h = 48 ⇒ h = 6 \, \mathrm{cm} $。
3. 求侧面积
侧面积 $ S_{\mathrm{侧}} = C × h = 12.56 × 6 = 75.36 \, \mathrm{cm}^2 $。
4. 求体积
体积 $ V = π r^2 h = 3.14 × 2^2 × 6 = 3.14 × 4 × 6 = 75.36 \, \mathrm{cm}^3 $。
75.36
75.36
11. 盒子里有64个红球和20个黄球，每次拿出2个红球、放入2个黄球，像这样操作(
4
)次后，红球个数是黄球的2倍。答案：11. 4
解析：
设操作$x$次后，红球个数是黄球的2倍。
操作后红球个数：$64 - 2x$
操作后黄球个数：$20 + 2x$
根据题意列方程：$64 - 2x = 2(20 + 2x)$
解方程：
$64 - 2x = 40 + 4x$
$-2x - 4x = 40 - 64$
$-6x = -24$
$x = 4$
4
操作后红球个数：$64 - 2x$
操作后黄球个数：$20 + 2x$
根据题意列方程：$64 - 2x = 2(20 + 2x)$
解方程：
$64 - 2x = 40 + 4x$
$-2x - 4x = 40 - 64$
$-6x = -24$
$x = 4$
4
12. 如图，正方形内的涂色部分是一个长方形，如果正方形的面积是涂色长方形的4倍，那么涂色长方形的周长是(
40
)厘米，涂色长方形的面积是(64
)平方厘米。答案：12. 40 64
解析：
设正方形的边长为$a$厘米。由图可知，$7 + 13 = a$，所以$a = 20$厘米。正方形面积为$20×20 = 400$平方厘米。因为正方形面积是涂色长方形的4倍，所以长方形面积为$400÷4 = 100$平方厘米。设长方形的长为$20$厘米（与正方形边长相等），宽为$b$厘米，则$20b = 100$，解得$b = 5$厘米。长方形周长为$2×(20 + 5) = 50$厘米。
1
1
13. 转化思想 如图，在三角形ABC中，$AF=FD$，$BD:DC=3:1$，如果三角形ABC的面积是56平方分米，那么涂色部分的面积是(
24
)平方分米。答案：13. 24
解析：
证明：连接CF。
设$S_{△ CDF}=x$，$\because BD:DC=3:1$，$\therefore S_{△ BDF}=3x$。
设$S_{△ AEF}=y$，$\because AF=FD$，$\therefore S_{△ DFE}=y$，$S_{△ ABF}=S_{△ BDF}=3x$。
$S_{△ AFC}=S_{△ AFD}=S_{△ AEF}+S_{△ DFE}=2y$，则$S_{△ CFE}=S_{△ AFC}-S_{△ AEF}=2y - y = y$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ BDF}+S_{△ CDF}+S_{△ AFC}=3x + 3x + x + 2y = 7x + 2y = 56$。
$S_{△ BEC}=S_{△ BDF}+S_{△ DFE}+S_{△ CDF}=3x + y + x = 4x + y$，$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}-S_{△ BEC}=56 - (4x + y)$。
又$S_{△ ABE}=S_{△ ABF}+S_{△ AEF}=3x + y$，$\therefore 56 - (4x + y)=3x + y$，即$7x + 2y = 56$，与前面方程一致。
由$7x + 2y = 56$，且$S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ ABF}+S_{△ AEF}=3x + y$，$\because 7x + 2y = 56$，$\therefore 3x + y = 24$。
24
设$S_{△ CDF}=x$，$\because BD:DC=3:1$，$\therefore S_{△ BDF}=3x$。
设$S_{△ AEF}=y$，$\because AF=FD$，$\therefore S_{△ DFE}=y$，$S_{△ ABF}=S_{△ BDF}=3x$。
$S_{△ AFC}=S_{△ AFD}=S_{△ AEF}+S_{△ DFE}=2y$，则$S_{△ CFE}=S_{△ AFC}-S_{△ AEF}=2y - y = y$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ BDF}+S_{△ CDF}+S_{△ AFC}=3x + 3x + x + 2y = 7x + 2y = 56$。
$S_{△ BEC}=S_{△ BDF}+S_{△ DFE}+S_{△ CDF}=3x + y + x = 4x + y$，$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}-S_{△ BEC}=56 - (4x + y)$。
又$S_{△ ABE}=S_{△ ABF}+S_{△ AEF}=3x + y$，$\therefore 56 - (4x + y)=3x + y$，即$7x + 2y = 56$，与前面方程一致。
由$7x + 2y = 56$，且$S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ ABF}+S_{△ AEF}=3x + y$，$\because 7x + 2y = 56$，$\therefore 3x + y = 24$。
24
14. 一列快车和一列慢车分别从A、B两地同时出发，相向而行，5小时相遇。相遇后，两车继续行驶了3小时，这时快车距离B地还差全程的12%，慢车共行了432千米。A、B两地相距(
600
)千米。答案：
14. 600
提示：根据题意，可以画出示意图（如图）。快车和慢车同时出发，经过 5 小时相遇，则两车每小时共行了全程的 $\frac{1}{5}$。相遇后，两车又继续行驶了 3 小时，则两车又行了全程的 $\frac{3}{5}$。从图中可以看出，432 千米占全程的 $(\frac{3}{5}+12\%)$，所以 A、B 两地相距 $432÷(\frac{3}{5}+12\%)=600$（千米）。
14. 600
提示：根据题意，可以画出示意图（如图）。快车和慢车同时出发，经过 5 小时相遇，则两车每小时共行了全程的 $\frac{1}{5}$。相遇后，两车又继续行驶了 3 小时，则两车又行了全程的 $\frac{3}{5}$。从图中可以看出，432 千米占全程的 $(\frac{3}{5}+12\%)$，所以 A、B 两地相距 $432÷(\frac{3}{5}+12\%)=600$（千米）。
15. 谢尔宾斯基三角形是一种典型的分形图形，在多个领域都有广泛的应用。如图所示，将一个面积为1平方厘米的等边三角形的三条边的中点相连，得到4个小等边三角形，移除中间的小等边三角形，剩下3个小等边三角形，得到第1阶谢尔宾斯基三角形；对第1阶的每个小等边三角形重复上述操作，得到第2阶谢尔宾斯基三角形……以此类推，第4阶谢尔宾斯基三角形中还剩下(
81
)个最小三角形，第5阶谢尔宾斯基三角形的面积为($\frac{243}{1024}$
)平方厘米。答案：15. 81 $\frac{243}{1024}$
提示：根据题意，第 4 阶谢尔宾斯基三角形中还剩下的最小三角形的数量为 $3^{4}=81$（个）。第 5 阶谢尔宾斯基三角形的面积为 $(\frac{3}{4})^{5}=\frac{243}{1024}$（平方厘米）。
提示：根据题意，第 4 阶谢尔宾斯基三角形中还剩下的最小三角形的数量为 $3^{4}=81$（个）。第 5 阶谢尔宾斯基三角形的面积为 $(\frac{3}{4})^{5}=\frac{243}{1024}$（平方厘米）。