7. 如图，有一瓶水，瓶底的半径是 $5$ 厘米，将瓶正放，水面高 $16$ 厘米；将瓶倒放，水面离瓶底还有 $4$ 厘米，求瓶子的容积。
答案：7. $ 3.14×5^{2}×(16+4)=1570$ (立方厘米) 1570 立方厘米 = 1570 毫升 = 1.57 升 提示: 根据“将瓶正放, 水面高 16 厘米; 将瓶倒放, 水面离瓶底还有 4 厘米”可知, 两种放法瓶子上面空余部分的容积是相等的, 整瓶的容积就相当于是底面半径是 5 厘米、高是 $ (16+4)$ 厘米的圆柱形瓶子的容积。
解析：
$3.14×5^{2}×(16 + 4)$
$=3.14×25×20$
$=78.5×20$
$=1570$（立方厘米）
1570 立方厘米 = 1570 毫升 = 1.57 升
答：瓶子的容积是 1.57 升。
$=3.14×25×20$
$=78.5×20$
$=1570$（立方厘米）
1570 立方厘米 = 1570 毫升 = 1.57 升
答：瓶子的容积是 1.57 升。
8. 在一个圆柱形水桶里，放进一段截面半径是 $5$ 厘米的圆钢(圆柱形)，如果圆钢全部浸在水中(水未溢出)，那么水桶里的水面上升 $10$ 厘米；如果把水中的圆钢竖着提起，使它露出水面 $6$ 厘米，那么水桶里的水面就下降 $2$ 厘米。求这段圆钢的体积。
答案：8. $ 3.14×5^{2}×(10÷2×6)=2355$ (立方厘米) 提示: 圆钢全部浸在水中, 水桶里的水面上升 10 厘米, 圆钢露出水面 6 厘米, 水桶里的水面下降 2 厘米, 这说明圆钢的高度是 $ 10÷2×6=30$ (厘米)。
解析：
当圆钢露出水面6厘米时，下降的水的体积等于半径5厘米、高6厘米的圆柱体积，即：$V_1 = π r^2 h = 3.14 × 5^2 × 6$。
水面下降2厘米，说明水桶底面积$S = \frac{V_1}{2} = \frac{3.14 × 5^2 × 6}{2}$。
圆钢全部浸入水中水面上升10厘米，圆钢体积等于上升的水的体积，即：$V = S × 10 = \frac{3.14 × 5^2 × 6}{2} × 10 = 3.14 × 5^2 × (10 ÷ 2 × 6) = 3.14 × 25 × 30 = 2355$（立方厘米）。
答：这段圆钢的体积是2355立方厘米。
水面下降2厘米，说明水桶底面积$S = \frac{V_1}{2} = \frac{3.14 × 5^2 × 6}{2}$。
圆钢全部浸入水中水面上升10厘米，圆钢体积等于上升的水的体积，即：$V = S × 10 = \frac{3.14 × 5^2 × 6}{2} × 10 = 3.14 × 5^2 × (10 ÷ 2 × 6) = 3.14 × 25 × 30 = 2355$（立方厘米）。
答：这段圆钢的体积是2355立方厘米。
9. 如图，用一张边长为 $82.8$ 厘米的正方形卡纸做一个尽可能长的圆柱形包装盒后，剩余边角料的面积是多少？包装盒的体积是多少？
答案：9. $ 82.8÷(1+3.14)=20$ (厘米) $ 82.8×20-2×3.14×(20÷2)^{2}=1028$ (平方厘米) $ 3.14×(20÷2)^{2}×82.8=25999.2$ (立方厘米) 提示: 根据题图可知, 空白长方形卡纸的宽就是包装盒底面圆的周长, 长就是包装盒的高, 根据底面圆的直径 + 底面圆的周长 = 82.8 可知, 底面圆的直径是 $ 82.8÷(1+3.14)=20$ (厘米), 则剩余边角料的面积 = 涂色卡纸的面积 = $ 82.8×20-2×3.14×(20÷2)^{2}=1028$ (平方厘米), 包装盒的体积是 $ 3.14×(20÷2)^{2}×82.8=25999.2$ (立方厘米)。
解析：
$82.8÷(1 + 3.14)=20$（厘米）
$82.8×20-2×3.14×(20÷2)^{2}=1028$（平方厘米）
$3.14×(20÷2)^{2}×82.8=25999.2$（立方厘米）
剩余边角料的面积是$1028$平方厘米，包装盒的体积是$25999.2$立方厘米。
$82.8×20-2×3.14×(20÷2)^{2}=1028$（平方厘米）
$3.14×(20÷2)^{2}×82.8=25999.2$（立方厘米）
剩余边角料的面积是$1028$平方厘米，包装盒的体积是$25999.2$立方厘米。
10. 转化思想 如图，一个圆柱形物体的底面直径是 $8$ 分米，被斜截后，最低处高是 $10$ 分米，最高处高是 $15$ 分米。被截后的物体体积是多少立方分米？
答案：10. $ 3.14×(8÷2)^{2}×(10+15)÷2=628$ (立方分米) 提示: 假设被斜截去的部分与剩下的部分完全相同, 即在现在这个立体图形上补充一个与之完全相同的图形, 拼成一个底面直径是 8 分米、高是 $ (10+15)$ 分米的圆柱, 先求出这个圆柱的体积, 再求出它的一半, 就是被截后的物体的体积。
解析：
$3.14×(8÷2)^2×(10+15)÷2=628$（立方分米）
11. 一根圆柱形木料，如果按图①所示切成完全相同的 $4$ 块，表面积会增加 $600$ 平方厘米；如果按图②所示切成完全相同的 $3$ 块，表面积会增加 $314$ 平方厘米。求这根木料的体积。
答案：11. 圆柱的底面积: $ 314÷4=78.5$ (平方厘米) 底面半径的平方: $ 78.5÷3.14=25$ (平方厘米) 由于 $ 5×5=25$, 所以底面半径为 5 厘米 圆柱的高: $ 600÷4÷(5×2)=15$ (厘米) 圆柱的体积: $ 78.5×15=1177.5$ (立方厘米) 提示: 按题图①所示的切法, 表面积增加的部分可以看成是 4 个长方形, 每个长方形的面积等于底面直径与高的乘积。每个长方形的面积为 $ 600÷4=150$ (平方厘米)。按题图②所示的切法, 表面积增加的部分是 4 个底面面积。圆柱的底面面积为 $ 314÷4=78.5$ (平方厘米), 则 $ r^{2}=78.5÷3.14=25$ (平方厘米), 进而推算出 $ r=5$ 厘米。圆柱的高为 $ 150÷(5×2)=15$ (厘米), 则圆柱的体积为 $ 78.5×15=1177.5$ (立方厘米)。
解析：
圆柱的底面积：$314÷4 = 78.5$（平方厘米）
底面半径的平方：$78.5÷3.14 = 25$（平方厘米）
因为$5×5 = 25$，所以底面半径$r = 5$厘米
每个长方形的面积：$600÷4 = 150$（平方厘米）
圆柱的高：$150÷(5×2)=15$（厘米）
圆柱的体积：$78.5×15 = 1177.5$（立方厘米）
答：这根木料的体积是$1177.5$立方厘米。
底面半径的平方：$78.5÷3.14 = 25$（平方厘米）
因为$5×5 = 25$，所以底面半径$r = 5$厘米
每个长方形的面积：$600÷4 = 150$（平方厘米）
圆柱的高：$150÷(5×2)=15$（厘米）
圆柱的体积：$78.5×15 = 1177.5$（立方厘米）
答：这根木料的体积是$1177.5$立方厘米。
12. 小明用橡皮泥做了一个圆柱，他发现如果圆柱的底面直径增加 $2$ 厘米，高不变，它的侧面积就增加 $62.8$ 平方厘米。如果它的高增加 $3$ 厘米，底面直径不变，它的侧面积就增加 $18.84$ 平方厘米。这个圆柱原来的体积是多少立方厘米？
答案：12. 圆柱的高: $ 62.8÷(3.14×2)=10$ (厘米) 圆柱的底面半径: $ 18.84÷3÷3.14÷2=1$ (厘米) 圆柱的体积: $ 3.14×1^{2}×10=31.4$ (立方厘米) 提示: 根据条件可分别求出圆柱的高和底面半径, 然后再求原来圆柱的体积。
解析：
圆柱的高：$62.8÷(3.14×2)=10$（厘米）
圆柱的底面半径：$18.84÷3÷3.14÷2=1$（厘米）
圆柱的体积：$3.14×1^{2}×10=31.4$（立方厘米）
圆柱的底面半径：$18.84÷3÷3.14÷2=1$（厘米）
圆柱的体积：$3.14×1^{2}×10=31.4$（立方厘米）