5. 圆柱的底面半径和高都是 4 厘米，如图，把它浸没在一个装有水的水槽中，量得水位上升了 1 厘米。再把一个底面直径为 6 厘米的圆锥完全浸入水中，水位又上升了 0.6 厘米。圆锥的高是多少厘米？(水未溢出)
]
]答案：5. $3.14×4^2×4÷1=200.96$ (平方厘米) $200.96×0.6×3÷[3.14×(6÷2)^2]=12.8$ (厘米)
解析：
$3.14×4^2×4÷1=200.96$（平方厘米）
$200.96×0.6×3÷[3.14×(6÷2)^2]=12.8$（厘米）
$200.96×0.6×3÷[3.14×(6÷2)^2]=12.8$（厘米）
6.
(1) 如图，一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器，当把这个容器倒过来时，圆锥的顶点到液面的距离是 (
(2) 如图是一个 $\frac{1}{4}$ 圆柱，其中两个侧面是正方形，每个正方形的面积是 10 平方厘米。这个 $\frac{1}{4}$ 圆柱的侧面积是 (
(3) 一个皮球掉进盛有水的圆柱形玻璃缸内，从里面量玻璃缸的底面直径是 20 厘米，皮球有 $\frac{4}{5}$ 的体积浸入水中(如图)。若把皮球从水中取出，玻璃缸内水面下降 2 厘米，则这个皮球的体积是 (
(4) 一个圆柱形容器和一个圆锥形容器，圆锥的底面积是圆柱的一半，用圆锥形容器装满水倒入圆柱形容器中，倒 4 次正好倒满。已知圆柱形容器深 6 分米，圆锥形容器深 (
(1) 如图，一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器，当把这个容器倒过来时，圆锥的顶点到液面的距离是 (11
) 厘米。(图中单位：厘米)(2) 如图是一个 $\frac{1}{4}$ 圆柱，其中两个侧面是正方形，每个正方形的面积是 10 平方厘米。这个 $\frac{1}{4}$ 圆柱的侧面积是 (
35.7
) 平方厘米。(3) 一个皮球掉进盛有水的圆柱形玻璃缸内，从里面量玻璃缸的底面直径是 20 厘米，皮球有 $\frac{4}{5}$ 的体积浸入水中(如图)。若把皮球从水中取出，玻璃缸内水面下降 2 厘米，则这个皮球的体积是 (
785
) 立方厘米。(4) 一个圆柱形容器和一个圆锥形容器，圆锥的底面积是圆柱的一半，用圆锥形容器装满水倒入圆柱形容器中，倒 4 次正好倒满。已知圆柱形容器深 6 分米，圆锥形容器深 (
9
) 分米。答案：6. (1)11
提示:圆锥与圆柱等底,填满圆锥部分的液体相当于圆柱容器里高为 $6×\frac{1}{3}=2$ (厘米)的部分,液体填满圆锥后圆柱里液体的高度是 $7 - 2 = 5$ (厘米),则圆锥的顶点到液面的距离是 $5 + 6 = 11$ (厘米)。
(2)35.7
提示:根据两个侧面都是正方形,可知这个 $ \frac{1}{4} $ 圆柱的底面半径和高相等,又根据正方形的面积是10平方厘米,可以知道底面半径与高的乘积是10平方厘米,所以我们不需要求出底面半径和高也可以求出 $ \frac{1}{4} $ 圆柱的侧面积。设 $ \frac{1}{4} $ 圆柱的底面半径为 $ r $ 厘米,则 $ r^2 = 10$。 $3.14× r×2× r×\frac{1}{4}+10 + 10 = 35.7$ (平方厘米)。
(3)785
提示:皮球体积的 $ \frac{4}{5} $ 与底面直径是20厘米、高是2厘米的圆柱的体积相等, $3.14×(20÷2)^2×2÷\frac{4}{5}=785$ (立方厘米)。
(4)9
提示:根据“圆锥的底面积是圆柱的一半”可知,圆柱与圆锥的底面积之比是 $2:1$;根据“用圆锥形容器装满水倒入圆柱形容器中,倒4次正好倒满”可知,圆柱与圆锥的体积之比是 $4:1$。由此可求出圆柱与圆锥的高的比是 $ (4÷2):(1×3÷1)=2:3$,则圆锥的高是 $6÷2×3 = 9$ (分米)。
提示:圆锥与圆柱等底,填满圆锥部分的液体相当于圆柱容器里高为 $6×\frac{1}{3}=2$ (厘米)的部分,液体填满圆锥后圆柱里液体的高度是 $7 - 2 = 5$ (厘米),则圆锥的顶点到液面的距离是 $5 + 6 = 11$ (厘米)。
(2)35.7
提示:根据两个侧面都是正方形,可知这个 $ \frac{1}{4} $ 圆柱的底面半径和高相等,又根据正方形的面积是10平方厘米,可以知道底面半径与高的乘积是10平方厘米,所以我们不需要求出底面半径和高也可以求出 $ \frac{1}{4} $ 圆柱的侧面积。设 $ \frac{1}{4} $ 圆柱的底面半径为 $ r $ 厘米,则 $ r^2 = 10$。 $3.14× r×2× r×\frac{1}{4}+10 + 10 = 35.7$ (平方厘米)。
(3)785
提示:皮球体积的 $ \frac{4}{5} $ 与底面直径是20厘米、高是2厘米的圆柱的体积相等, $3.14×(20÷2)^2×2÷\frac{4}{5}=785$ (立方厘米)。
(4)9
提示:根据“圆锥的底面积是圆柱的一半”可知,圆柱与圆锥的底面积之比是 $2:1$;根据“用圆锥形容器装满水倒入圆柱形容器中,倒4次正好倒满”可知,圆柱与圆锥的体积之比是 $4:1$。由此可求出圆柱与圆锥的高的比是 $ (4÷2):(1×3÷1)=2:3$,则圆锥的高是 $6÷2×3 = 9$ (分米)。
7. 如图，分别以直角梯形的上底和下底所在直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了两个立体图形。这两个立体图形的体积比是多少？(请写出你的思考过程)
]
]答案：
7. $ [3+3×(1 - \frac{1}{3})]:(3+3×\frac{1}{3})=5:4 $
提示:从图中可以看出两个立体图形都可以分为上、下两部分,下面部分是完全相同的圆柱。把下面部分圆柱的体积看作3份,则图①上面部分的体积是 $3×(1 - \frac{1}{3}) = 2$ (份),图②上面部分的体积是 $3×\frac{1}{3}=1$ (份),所以两个立体图形的体积之比是 $ (3 + 2):(3 + 1)=5:4 $。
7. $ [3+3×(1 - \frac{1}{3})]:(3+3×\frac{1}{3})=5:4 $
提示:从图中可以看出两个立体图形都可以分为上、下两部分,下面部分是完全相同的圆柱。把下面部分圆柱的体积看作3份,则图①上面部分的体积是 $3×(1 - \frac{1}{3}) = 2$ (份),图②上面部分的体积是 $3×\frac{1}{3}=1$ (份),所以两个立体图形的体积之比是 $ (3 + 2):(3 + 1)=5:4 $。
8. 如图，有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是 4 厘米，高是 8 厘米，容器内放着一些石子，石子的体积为 $\frac{112π}{3}$ 立方厘米，在容器内倒满水后，再把石子全部拿出来，此时水面半径与水面高度比为 $1:2$，求此时容器内水面的高度。
答案：8. 设石子全部拿出来后,容器内水面高度为 $ x $ 厘米,则水面半径为 $ \frac{1}{2}x $ 厘米。 $ \frac{1}{3}×π×4^2×8=\frac{1}{3}×π×(\frac{x}{2})^2× x+\frac{112}{3}π $ $ x^3 = 64 $ $ x = 4 $
提示:设石子全部拿出来后,容器内水面高度为 $ x $ 厘米,则水面半径为 $ \frac{1}{2}x $ 厘米。则圆锥形容器的容积等于水的体积加上石子的体积,即 $ \frac{1}{3}×π×4^2×8=\frac{1}{3}×π×(\frac{x}{2})^2× x+\frac{112}{3}π $, $ x^3 = 64 $,解得 $ x = 4 $,即石子全部拿出来后,容器内水面的高度为4厘米。
提示:设石子全部拿出来后,容器内水面高度为 $ x $ 厘米,则水面半径为 $ \frac{1}{2}x $ 厘米。则圆锥形容器的容积等于水的体积加上石子的体积,即 $ \frac{1}{3}×π×4^2×8=\frac{1}{3}×π×(\frac{x}{2})^2× x+\frac{112}{3}π $, $ x^3 = 64 $,解得 $ x = 4 $,即石子全部拿出来后,容器内水面的高度为4厘米。
9. 有甲、乙两个圆柱形容器，从里面量得它们的底面半径分别为 10 厘米和 5 厘米，两个容器内分别盛有深 10 厘米和 15 厘米的水，现将乙容器中的一部分水倒入甲容器内，使得两个容器里的水面相平，这时水深为多少厘米？
答案：9. $ (3.14×10^2×10+3.14×5^2×15)÷(3.14×10^2+3.14×5^2)=11 $ (厘米)
提示:用两个容器内水的总体积除以两个容器底面积的和,就可以求得现在的水深。
提示:用两个容器内水的总体积除以两个容器底面积的和,就可以求得现在的水深。