例1 把一个圆柱沿底面直径竖直切成2块，表面积增加了24平方厘米。若平行于底面切成三块，表面积增加了50.24平方厘米。若削成一个最大的圆锥，则体积减少多少立方厘米？
分析：这类问题要弄清楚增加或减少的表面积或体积是哪一部分，与原图形的什么量有关系。由平行于底面切割的条件，可以求出底面积，进而求出底面半径；根据沿底面直径切割的条件，可以求出底面直径乘高的结果，再根据前面求出的半径，可以求出圆柱的高，进而求得圆柱的体积，也就可以求出体积减少多少了。
分析：这类问题要弄清楚增加或减少的表面积或体积是哪一部分，与原图形的什么量有关系。由平行于底面切割的条件，可以求出底面积，进而求出底面半径；根据沿底面直径切割的条件，可以求出底面直径乘高的结果，再根据前面求出的半径，可以求出圆柱的高，进而求得圆柱的体积，也就可以求出体积减少多少了。
答案：解答：圆柱的底面积：$50.24÷4 = 12.56$（平方厘米）
$r^{2}$为$12.56÷3.14 = 4$（平方厘米）
$r = 2$厘米
圆柱的高：$24÷2÷(2×2) = 3$（厘米）
圆柱的体积：$3.14×2^{2}×3 = 37.68$（立方厘米）
减少的体积：
$37.68×(1 - \frac{1}{3}) = 25.12$（立方厘米）
答：体积减少25.12立方厘米。
$r^{2}$为$12.56÷3.14 = 4$（平方厘米）
$r = 2$厘米
圆柱的高：$24÷2÷(2×2) = 3$（厘米）
圆柱的体积：$3.14×2^{2}×3 = 37.68$（立方厘米）
减少的体积：
$37.68×(1 - \frac{1}{3}) = 25.12$（立方厘米）
答：体积减少25.12立方厘米。
1. 把一个圆柱沿两条互相垂直的底面直径竖直切成4块，表面积增加了192平方厘米；沿平行于底面切成两块，表面积增加了56.52平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？
答案：$ 56.52 ÷ 2 = 28.26 $（平方厘米） $ 28.26 ÷ 3.14 = 9 $（平方厘米） $ 9 = 3 × 3 $ $ 192 ÷ 8 ÷ 3 = 8 $（厘米） $ 28.26 × 8 = 226.08 $（立方厘米）
提示：沿两条互相垂直的底面直径切，增加了 $ 8 $ 个以 $ r $、$ h $ 为边的长方形，沿平行于底面切成两块，增加了两个底面。由底面积求出半径，再求出高，最后用底面积乘高求体积。
提示：沿两条互相垂直的底面直径切，增加了 $ 8 $ 个以 $ r $、$ h $ 为边的长方形，沿平行于底面切成两块，增加了两个底面。由底面积求出半径，再求出高，最后用底面积乘高求体积。
2. 若把一个圆柱沿平行于底面切去2厘米高，则表面积减少50.24平方厘米，体积变成原来的$\frac{4}{5}$。如果将这个圆柱切成一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是多少立方厘米？（结果保留一位小数）
答案：$ 50.24 ÷ 2 = 25.12 $（厘米） $ 25.12 ÷ 3.14 = 8 $（厘米） $ 2 ÷ ( 1 - \frac{4}{5} ) = 10 $（厘米） $ \frac{1}{3} × 3.14 × (8 ÷ 2)^2 × 10 \approx 167.5 $（立方厘米）
提示：表面积减少 $ 50.24 $ 平方厘米，即为切去部分的侧面积，由此可求出底面周长，从而求出底面直径。
提示：表面积减少 $ 50.24 $ 平方厘米，即为切去部分的侧面积，由此可求出底面周长，从而求出底面直径。
例2 一个圆柱和一个圆锥底面半径的比是$2:1$，高的比是$1:3$，它们的体积和是31.4立方厘米。圆柱和圆锥的体积各是多少立方厘米？
分析：解决此类问题，通常需要根据题目中给出的已知量的比，求出未知量的比或未知量与已知量的比，然后再结合已知量求出未知量。
根据“一个圆柱和一个圆锥底面半径的比是$2:1$”可知，圆柱和圆锥底面积的比是$4:1$。然后结合圆柱和圆锥底面积的比和高的比，求出它们的体积比。再把“31.4立方厘米”按体积比进行分配，分别求出圆柱和圆锥的体积。
分析：解决此类问题，通常需要根据题目中给出的已知量的比，求出未知量的比或未知量与已知量的比，然后再结合已知量求出未知量。
根据“一个圆柱和一个圆锥底面半径的比是$2:1$”可知，圆柱和圆锥底面积的比是$4:1$。然后结合圆柱和圆锥底面积的比和高的比，求出它们的体积比。再把“31.4立方厘米”按体积比进行分配，分别求出圆柱和圆锥的体积。
答案：解答：圆柱和圆锥底面积的比：$(2×2):(1×1) = 4:1$
体积比：$(4×1):(1×3÷3) = 4:1$
圆柱的体积：$31.4×\frac{4}{4 + 1} = 25.12$（立方厘米）
圆锥的体积：$31.4×\frac{1}{4 + 1} = 6.28$（立方厘米）
答：圆柱的体积是25.12立方厘米，圆锥的体积是6.28立方厘米。
体积比：$(4×1):(1×3÷3) = 4:1$
圆柱的体积：$31.4×\frac{4}{4 + 1} = 25.12$（立方厘米）
圆锥的体积：$31.4×\frac{1}{4 + 1} = 6.28$（立方厘米）
答：圆柱的体积是25.12立方厘米，圆锥的体积是6.28立方厘米。