一、填空题
1. 如图，把直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的圆锥体积最大是(
1. 如图，把直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的圆锥体积最大是(
50.24
)立方厘米。答案：1. 50.24
解析：
情况一：以3cm直角边为轴旋转
底面半径：4cm，高：3cm
体积：$\frac{1}{3}×3.14×4^{2}×3 = 50.24\ \mathrm{cm}^3$
情况二：以4cm直角边为轴旋转
底面半径：3cm，高：4cm
体积：$\frac{1}{3}×3.14×3^{2}×4 = 37.68\ \mathrm{cm}^3$
最大体积：50.24
底面半径：4cm，高：3cm
体积：$\frac{1}{3}×3.14×4^{2}×3 = 50.24\ \mathrm{cm}^3$
情况二：以4cm直角边为轴旋转
底面半径：3cm，高：4cm
体积：$\frac{1}{3}×3.14×3^{2}×4 = 37.68\ \mathrm{cm}^3$
最大体积：50.24
2. 一个圆柱的侧面积是 188.4 平方厘米，底面直径是 10 厘米，它的体积是(
471
)立方厘米。答案：2. 471
解析：
底面半径：$10÷2 = 5$厘米
底面周长：$C=π d=3.14×10 = 31.4$厘米
圆柱的高：$h=188.4÷31.4 = 6$厘米
体积：$V=π r^2h=3.14×5^2×6=3.14×25×6 = 471$立方厘米
471
底面周长：$C=π d=3.14×10 = 31.4$厘米
圆柱的高：$h=188.4÷31.4 = 6$厘米
体积：$V=π r^2h=3.14×5^2×6=3.14×25×6 = 471$立方厘米
471
3. 楠木质地坚硬耐腐蚀，伸缩变形小，古代建筑中多用于宫殿的柱、梁等。把一根 5 米长的圆柱形楠木料沿横截面截成三段，表面积增加了 24 平方分米，这根木料的体积是(
0.3
)立方米。答案：3. 0.3
解析：
24平方分米=0.24平方米
截成三段，表面积增加4个横截面面积，
横截面面积：$0.24÷4 = 0.06$（平方米）
体积：$0.06×5 = 0.3$（立方米）
0.3
截成三段，表面积增加4个横截面面积，
横截面面积：$0.24÷4 = 0.06$（平方米）
体积：$0.06×5 = 0.3$（立方米）
0.3
4. 把一个棱长是 6 分米的正方体木料削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是(
169.56
)立方分米；再将圆柱削成一个最大的圆锥，还要再削去(113.04
)立方分米。答案：4. 169.56 113.04
解析：
圆柱的体积：
圆柱底面直径等于正方体棱长，即$d = 6$分米，半径$r=\frac{6}{2}=3$分米，高$h = 6$分米。
圆柱体积公式$V=π r^{2}h$，则$V = 3.14×3^{2}×6=3.14×9×6 = 169.56$立方分米。
圆锥体积：
等底等高圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，所以圆锥体积为$\frac{1}{3}×169.56 = 56.52$立方分米。
削去体积：$169.56-56.52 = 113.04$立方分米。
169.56；113.04
圆柱底面直径等于正方体棱长，即$d = 6$分米，半径$r=\frac{6}{2}=3$分米，高$h = 6$分米。
圆柱体积公式$V=π r^{2}h$，则$V = 3.14×3^{2}×6=3.14×9×6 = 169.56$立方分米。
圆锥体积：
等底等高圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，所以圆锥体积为$\frac{1}{3}×169.56 = 56.52$立方分米。
削去体积：$169.56-56.52 = 113.04$立方分米。
169.56；113.04
5. 如图，容器中的水若倒过来，水面的高度是(
7
)厘米。答案：5. 7
解析：
设圆柱和圆锥的底面积为$S$。
水的体积：$V = S×(15 - 12)+\frac{1}{3}S×12 = 3S + 4S = 7S$。
倒过来后，圆锥部分体积为$\frac{1}{3}S×12 = 4S$，剩余水体积为$7S - 4S = 3S$。
圆柱部分水面高度：$h = \frac{3S}{S}=3$（厘米）。
总水面高度：$12 + 3 = 15$（厘米）。
1
水的体积：$V = S×(15 - 12)+\frac{1}{3}S×12 = 3S + 4S = 7S$。
倒过来后，圆锥部分体积为$\frac{1}{3}S×12 = 4S$，剩余水体积为$7S - 4S = 3S$。
圆柱部分水面高度：$h = \frac{3S}{S}=3$（厘米）。
总水面高度：$12 + 3 = 15$（厘米）。
1
6. 如图，把一个圆柱切开后拼成近似的长方体，表面积比原来增加了 8 平方分米，原来圆柱的侧面积是(
25.12
)平方分米。答案：6. 25.12
解析：
将圆柱切开拼成近似长方体后，表面积增加的部分为两个以圆柱的高$h$和底面半径$r$为边长的长方形的面积，即$2rh = 8$平方分米，所以$rh=4$。
圆柱的侧面积公式为$S=2π rh$，将$rh = 4$代入可得：$S=2π×4 = 8π$。
取$π = 3.14$，则$S=8×3.14 = 25.12$平方分米。
25.12
圆柱的侧面积公式为$S=2π rh$，将$rh = 4$代入可得：$S=2π×4 = 8π$。
取$π = 3.14$，则$S=8×3.14 = 25.12$平方分米。
25.12
7. 有大、小两种玻璃球，放入盛有同样多水的圆柱形容器中，用“排水法”测量玻璃球体积。(单位：厘米)
(1)图②测得 1 个大球的体积是(
(2)1 个大球和 1 个小球的体积比是(
(3)图④水面的高度是(
(1)图②测得 1 个大球的体积是(
56.52
)立方厘米。(2)1 个大球和 1 个小球的体积比是(
4:1
)。(3)图④水面的高度是(
6.5
)厘米。答案：7. (1)56.52 (2)4:1 (3)6.5
8. 一个圆柱和一个圆锥底面周长的比是 2:3，它们的体积相等，如果圆柱的高是 12 分米，那么圆锥的高是(
16
)分米。答案：8. 16
解析：
设圆柱底面半径为$r_1$，圆锥底面半径为$r_2$。
因为圆柱和圆锥底面周长的比是$2:3$，底面周长$C = 2π r$，所以$\frac{2π r_1}{2π r_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{2}{3}$，即$r_1=\frac{2}{3}r_2$。
圆柱体积$V_1=π r_1^2h_1$，圆锥体积$V_2=\frac{1}{3}π r_2^2h_2$，已知$V_1 = V_2$，$h_1 = 12$分米。
则$π (\frac{2}{3}r_2)^2×12=\frac{1}{3}π r_2^2h_2$，化简得$π×\frac{4}{9}r_2^2×12=\frac{1}{3}π r_2^2h_2$，两边同时约去$π r_2^2$，$\frac{48}{9}=\frac{1}{3}h_2$，解得$h_2 = 16$。
16
因为圆柱和圆锥底面周长的比是$2:3$，底面周长$C = 2π r$，所以$\frac{2π r_1}{2π r_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{2}{3}$，即$r_1=\frac{2}{3}r_2$。
圆柱体积$V_1=π r_1^2h_1$，圆锥体积$V_2=\frac{1}{3}π r_2^2h_2$，已知$V_1 = V_2$，$h_1 = 12$分米。
则$π (\frac{2}{3}r_2)^2×12=\frac{1}{3}π r_2^2h_2$，化简得$π×\frac{4}{9}r_2^2×12=\frac{1}{3}π r_2^2h_2$，两边同时约去$π r_2^2$，$\frac{48}{9}=\frac{1}{3}h_2$，解得$h_2 = 16$。
16
9. 一个高是 4 厘米的圆柱，如果高增加 1 厘米，这时表面积就比原来增加 31.4 平方厘米。原来圆柱的体积是(
314
)立方厘米。答案：9. 314
解析：
圆柱高增加1厘米，表面积增加的部分为高1厘米的圆柱的侧面积。
圆柱侧面积公式：$S = 2π rh$，其中$r$为底面半径，$h$为高。
已知增加的表面积为31.4平方厘米，高增加1厘米，可得：
$2π r × 1 = 31.4$
$2π r = 31.4$
$r = 31.4 ÷ (2 × 3.14) = 5$（厘米）
原来圆柱的高为4厘米，体积公式：$V = π r^2 h$
$V = 3.14 × 5^2 × 4 = 3.14 × 25 × 4 = 314$（立方厘米）
314
圆柱侧面积公式：$S = 2π rh$，其中$r$为底面半径，$h$为高。
已知增加的表面积为31.4平方厘米，高增加1厘米，可得：
$2π r × 1 = 31.4$
$2π r = 31.4$
$r = 31.4 ÷ (2 × 3.14) = 5$（厘米）
原来圆柱的高为4厘米，体积公式：$V = π r^2 h$
$V = 3.14 × 5^2 × 4 = 3.14 × 25 × 4 = 314$（立方厘米）
314
10. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差 75.36 立方厘米。如果圆锥的底面半径是 3 厘米，那么这个圆锥的高是(
4
)厘米。答案：10. 4
解析：
因为圆柱和圆锥等底等高，所以圆柱体积是圆锥体积的3倍。设圆锥体积为$V$，则圆柱体积为$3V$，它们体积相差$3V - V=2V$。已知体积相差$75.36$立方厘米，所以$2V = 75.36$，解得$V=37.68$立方厘米。
圆锥底面半径$r = 3$厘米，底面积$S=π r^{2}=3.14×3^{2}=28.26$平方厘米。
由圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，可得$h = \frac{3V}{S}=\frac{3×37.68}{28.26}=4$厘米。
4
圆锥底面半径$r = 3$厘米，底面积$S=π r^{2}=3.14×3^{2}=28.26$平方厘米。
由圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，可得$h = \frac{3V}{S}=\frac{3×37.68}{28.26}=4$厘米。
4
11. 一个圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长，已知正方体的体积是 60 立方厘米，圆锥的体积是(
62.8
)立方厘米。答案：11. 62.8
解析：
设正方体的棱长为$a$厘米。
正方体体积$V=a^3=60$立方厘米。
圆锥的高和底面半径都等于正方体的棱长，即圆锥的高$h=a$，底面半径$r=a$。
圆锥体积$V=\frac{1}{3}π r^2h=\frac{1}{3}π a^2 · a=\frac{1}{3}π a^3$。
将$a^3=60$代入，得$V=\frac{1}{3}×3.14×60 = 62.8$立方厘米。
62.8
正方体体积$V=a^3=60$立方厘米。
圆锥的高和底面半径都等于正方体的棱长，即圆锥的高$h=a$，底面半径$r=a$。
圆锥体积$V=\frac{1}{3}π r^2h=\frac{1}{3}π a^2 · a=\frac{1}{3}π a^3$。
将$a^3=60$代入，得$V=\frac{1}{3}×3.14×60 = 62.8$立方厘米。
62.8
12. 一个圆锥的底面周长是 15.7 厘米，高是 3 厘米。从圆锥的顶点沿着高将它分成两半后，表面积之和比原来圆锥的表面积增加了(
15
)平方厘米。答案：12. 15
解析：
圆锥底面直径：$15.7÷3.14 = 5$（厘米）
增加的表面积为两个三角形面积：$2×(\frac{1}{2}×5×3)=15$（平方厘米）
15
增加的表面积为两个三角形面积：$2×(\frac{1}{2}×5×3)=15$（平方厘米）
15
13. 有内半径分别为 1 厘米和 4 厘米且深度相等的圆柱形容器 A 和 B，把 A 容器装满水，再倒入 B 容器里，水的深度比容器深度的 $\frac{3}{4}$ 还低 3 厘米，容器的深度是(
$\frac{48}{11}$
)厘米。答案：13. $\frac{48}{11}$
提示：根据两个圆柱的高相等，两个容器体积的比=底面积的比=底面半径的平方的比=1:16。再根据已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数，用除法解答，列式为$3÷(\frac{3}{4}-\frac{1}{16})=\frac{48}{11}$（厘米）。
提示：根据两个圆柱的高相等，两个容器体积的比=底面积的比=底面半径的平方的比=1:16。再根据已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数，用除法解答，列式为$3÷(\frac{3}{4}-\frac{1}{16})=\frac{48}{11}$（厘米）。
二、判断题
1. 长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用“底面积×高”进行计算。(
2. 两个圆柱的表面积相等，它们的体积也一定相等。(
3. 圆柱的表面积是 54 平方厘米，与它等底等高的圆锥的表面积是 18 平方厘米。(
4. 底面周长相等、高也相等的长方体、正方体和圆柱，圆柱的体积最大。(
1. 长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用“底面积×高”进行计算。(
×
)2. 两个圆柱的表面积相等，它们的体积也一定相等。(
×
)3. 圆柱的表面积是 54 平方厘米，与它等底等高的圆锥的表面积是 18 平方厘米。(
×
)4. 底面周长相等、高也相等的长方体、正方体和圆柱，圆柱的体积最大。(
√
)答案：二、1. × 2. × 3. × 4. √