5. 推导探究 乐乐在计算半径是 3 厘米和 4 厘米的圆的周长时,发现结果 18.84 厘米和 25.12 厘米的比化简完也是 3 : 4,乐乐就思考:这是巧合呢? 还是周长之比就等于半径之比呢? 乐乐试着用下面框里的方法进行了证明,发现圆的周长之比等于半径之比。
因为 $ C = 2π r $, 所以 $ C_1 : C_2 = (2π r_1) : (2π r_2) $。
根据比的基本性质, 比的前项和后项同时除以 $ 2π $ 得到:
$ C_1 : C_2 = (2π r_1 ÷ □) : (2π r_2 ÷ □) = r_1 : r_2 $,
所以圆的周长之比等于半径之比。
(1) 根据乐乐的思路,在方框里填上合适的内容。
(2) 乐乐又思考起来:半圆形的周长之比等于半径之比吗? 他没有着急证明,而是想先分别求出半径是 3 厘米和 4 厘米的半圆形周长。请你先帮乐乐计算。
(3) 通过计算,乐乐发现半圆形的周长之比等于半径之比。现在请你仿照上面框里的方法,证明一下半圆形的周长之比等于半径之比。
因为 $ C_{半圆形} = π r + 2r = (π + 2)r = 5.14r $, 所以 $ C_{半圆形1} : C_{半圆形2} = $。
根据比的基本性质, 比的前项和后项同时除以得到:
$ C_{半圆形1} : C_{半圆形2} = $ = ,
所以半圆的周长之比等于。
因为 $ C = 2π r $, 所以 $ C_1 : C_2 = (2π r_1) : (2π r_2) $。
根据比的基本性质, 比的前项和后项同时除以 $ 2π $ 得到:
$ C_1 : C_2 = (2π r_1 ÷ □) : (2π r_2 ÷ □) = r_1 : r_2 $,
所以圆的周长之比等于半径之比。
(1) 根据乐乐的思路,在方框里填上合适的内容。
(2) 乐乐又思考起来:半圆形的周长之比等于半径之比吗? 他没有着急证明,而是想先分别求出半径是 3 厘米和 4 厘米的半圆形周长。请你先帮乐乐计算。
(3) 通过计算,乐乐发现半圆形的周长之比等于半径之比。现在请你仿照上面框里的方法,证明一下半圆形的周长之比等于半径之比。
因为 $ C_{半圆形} = π r + 2r = (π + 2)r = 5.14r $, 所以 $ C_{半圆形1} : C_{半圆形2} = $。
根据比的基本性质, 比的前项和后项同时除以得到:
$ C_{半圆形1} : C_{半圆形2} = $ = ,
所以半圆的周长之比等于。
答案：5. (1)$2π$，$2π$
提示：根据比的基本性质填写即可。
(2)$2×3.14×3÷2 + 2×3 = 15.42$（厘米）
$2×3.14×4÷2 + 2×4 = 20.56$（厘米）
提示：计算出两个半圆形的周长分别是$2×3.14×3÷2 + 2×3 = 15.42$（厘米），$2×3.14×4÷2 + 2×4 = 20.56$（厘米），求得它们的比是$3:4$。
(3)$5.14r_1:5.14r_2$，$5.14$，$(5.14r_1÷5.14):(5.14r_2÷5.14)$，$r_1:r_2$，半径之比
提示：用公式进行验证：$C_{半圆形1}:C_{半圆形2}=(5.14r_1÷5.14):(5.14r_2÷5.14)=r_1:r_2$，所以可证明半圆形的周长之比等于半径之比。
提示：根据比的基本性质填写即可。
(2)$2×3.14×3÷2 + 2×3 = 15.42$（厘米）
$2×3.14×4÷2 + 2×4 = 20.56$（厘米）
提示：计算出两个半圆形的周长分别是$2×3.14×3÷2 + 2×3 = 15.42$（厘米），$2×3.14×4÷2 + 2×4 = 20.56$（厘米），求得它们的比是$3:4$。
(3)$5.14r_1:5.14r_2$，$5.14$，$(5.14r_1÷5.14):(5.14r_2÷5.14)$，$r_1:r_2$，半径之比
提示：用公式进行验证：$C_{半圆形1}:C_{半圆形2}=(5.14r_1÷5.14):(5.14r_2÷5.14)=r_1:r_2$，所以可证明半圆形的周长之比等于半径之比。
6. 几何直观 如图,四边形 $ ABCD $ 被对角线 $ AC $ 以及线段 $ BE $、$ DE $ 分成四个小三角形,这四个小三角形的面积分别记为 $ a $、$ b $、$ c $、$ d $,那么根据比例模型可知, $ a : b = AE : EC $, $ d : c = AE : EC $,所以 $ a : b = d : c $,根据比例的基本性质可知 $ ac = bd $。
(1) 若三角形 $ ABE $、三角形 $ BCE $、三角形 $ CDE $ 的面积分别是 30 平方厘米、20 平方厘米、10 平方厘米,则四边形 $ ABCD $ 的面积是多少?
(2) 已知四边形 $ ABCD $ 的面积为 56 平方厘米,三角形 $ BCE $、三角形 $ CDE $ 的面积分别为 10 平方厘米、6 平方厘米,则三角形 $ ABE $ 的面积是多少?
(1) 若三角形 $ ABE $、三角形 $ BCE $、三角形 $ CDE $ 的面积分别是 30 平方厘米、20 平方厘米、10 平方厘米,则四边形 $ ABCD $ 的面积是多少?
(2) 已知四边形 $ ABCD $ 的面积为 56 平方厘米,三角形 $ BCE $、三角形 $ CDE $ 的面积分别为 10 平方厘米、6 平方厘米,则三角形 $ ABE $ 的面积是多少?
答案：6. (1)$30×10 = 20×d$，$d = 15$
$30 + 20 + 10 + 15 = 75$（平方厘米）
提示：根据题目可知$30×10 = 20×d$，得到$d = 15$，所以四边形$ABCD$的面积为$30 + 20 + 10 + 15 = 75$（平方厘米）。
(2)$a:d = b:c = 5:3$
$a + d = 56 - 10 - 6 = 40$（平方厘米）
$40÷(5 + 3)×5 = 25$（平方厘米）
提示：因为$ac = bd$，所以$a:d = b:c = 5:3$，$a + d = 56 - 10 - 6 = 40$（平方厘米），则$a = 40÷(5 + 3)×5 = 25$（平方厘米）。
$30 + 20 + 10 + 15 = 75$（平方厘米）
提示：根据题目可知$30×10 = 20×d$，得到$d = 15$，所以四边形$ABCD$的面积为$30 + 20 + 10 + 15 = 75$（平方厘米）。
(2)$a:d = b:c = 5:3$
$a + d = 56 - 10 - 6 = 40$（平方厘米）
$40÷(5 + 3)×5 = 25$（平方厘米）
提示：因为$ac = bd$，所以$a:d = b:c = 5:3$，$a + d = 56 - 10 - 6 = 40$（平方厘米），则$a = 40÷(5 + 3)×5 = 25$（平方厘米）。
7. 一个玻璃瓶内装有盐水,原来盐的质量是水的质量的 $ \frac{1}{11} $,加入 15 克盐后,盐的质量占盐水质量的 $ \frac{1}{9} $。玻璃瓶内原有盐水多少克?
答案：7. 方法一：$1 + 11 = 12$，设玻璃瓶内原有盐$x$克，则原有盐水$12x$克。
$(x + 15):(12x + 15) = 1:9$，$x = 40$
$40×12 = 480$（克）
方法二：$\frac{9 - 1}{9}:\frac{11}{11 + 1}=32:33$
$15×\frac{32}{33 - 32}=480$（克）
提示：方法一：根据题意可列出下表。
| |盐的质量/g|水的质量/g|盐水质量/g|
|--|--|--|--|
|原有|$x$|$11x$|$12x$|
|加入$15g$盐后|$x + 15$|$11x$|$12x + 15$|
加入$15$克盐后，盐与盐水的质量比是$1:9$，即$(x + 15):(12x + 15) = 1:9$。根据比例的基本性质求出$x$的值，即可得到玻璃瓶内原有盐的质量，进而求出玻璃瓶内原有盐水的质量。
方法二：根据玻璃瓶内水的质量不变可知，原来盐水质量的$\frac{11}{11 + 1}$等于现在盐水质量的$\frac{9 - 1}{9}$，也就是原来盐水质量$×\frac{11}{11 + 1}=$现在盐水质量$×\frac{9 - 1}{9}$。根据比例的基本性质可得原来盐水质量$:$现在盐水质量$=\frac{9 - 1}{9}:\frac{11}{11 + 1}=32:33$，原来盐水质量相当于现在与原来盐水质量差（$15$克）的$\frac{32}{33 - 32}$，由此可求出玻璃瓶内原有盐水的质量。
$(x + 15):(12x + 15) = 1:9$，$x = 40$
$40×12 = 480$（克）
方法二：$\frac{9 - 1}{9}:\frac{11}{11 + 1}=32:33$
$15×\frac{32}{33 - 32}=480$（克）
提示：方法一：根据题意可列出下表。
| |盐的质量/g|水的质量/g|盐水质量/g|
|--|--|--|--|
|原有|$x$|$11x$|$12x$|
|加入$15g$盐后|$x + 15$|$11x$|$12x + 15$|
加入$15$克盐后，盐与盐水的质量比是$1:9$，即$(x + 15):(12x + 15) = 1:9$。根据比例的基本性质求出$x$的值，即可得到玻璃瓶内原有盐的质量，进而求出玻璃瓶内原有盐水的质量。
方法二：根据玻璃瓶内水的质量不变可知，原来盐水质量的$\frac{11}{11 + 1}$等于现在盐水质量的$\frac{9 - 1}{9}$，也就是原来盐水质量$×\frac{11}{11 + 1}=$现在盐水质量$×\frac{9 - 1}{9}$。根据比例的基本性质可得原来盐水质量$:$现在盐水质量$=\frac{9 - 1}{9}:\frac{11}{11 + 1}=32:33$，原来盐水质量相当于现在与原来盐水质量差（$15$克）的$\frac{32}{33 - 32}$，由此可求出玻璃瓶内原有盐水的质量。