6. $ 2025 $ 年 $ 8 $ 月首届世界人形机器人运动会在北京举办。某品牌人形机器人受到广泛关注，共接到 $ 450 $ 个订单。其中 $ A $、$ B $ 型号的订单的个数比是 $ 2 : 3 $，$ C $ 型号的订单比 $ B $ 型号少 $ 30 $ 个。这三种型号各接到了多少个订单？
答案：6. $ 450 + 30 = 480 $ (个)
A 型号: $ 480×\dfrac{2}{2 + 3 + 3} = 120 $ (个)
B 型号: $ 480×\dfrac{3}{2 + 3 + 3} = 180 $ (个)
C 型号: $ 180 - 30 = 150 $ (个)
A 型号: $ 480×\dfrac{2}{2 + 3 + 3} = 120 $ (个)
B 型号: $ 480×\dfrac{3}{2 + 3 + 3} = 180 $ (个)
C 型号: $ 180 - 30 = 150 $ (个)
7. 在羽毛球比赛中，参加第一轮比赛的男、女生人数之比是 $ 4 : 3 $，被淘汰的男、女生人数之比是 $ 3 : 4 $。参加第二轮比赛的有 $ 91 $ 人，其中男、女生人数之比是 $ 8 : 5 $。那么参加第一轮比赛的有多少人？
答案：7. 设第一轮比赛中男生有 $ 4x $ 人,女生有 $ 3x $ 人。
$ 91÷(8 + 5)×8 = 56 $ (人)
$ 91 - 56 = 35 $ (人)
$ (4x - 56):(3x - 35) = 3:4 $
$ x = 17 $ $ 17×(4 + 3) = 119 $ (人)
提示:根据题意先设出第一轮比赛中男生和女生的人数。再利用参加第二轮比赛的有 91 人,其中男、女生人数之比是 $ 8:5 $ 这个条件求出参加第二轮比赛的男、女生人数,即可表示出第一轮被淘汰的男、女生人数,结合被淘汰的男、女生人数之比是 $ 3:4 $ 这个条件即可求出未知数,进而可求出参加第一轮比赛的总人数。
$ 91÷(8 + 5)×8 = 56 $ (人)
$ 91 - 56 = 35 $ (人)
$ (4x - 56):(3x - 35) = 3:4 $
$ x = 17 $ $ 17×(4 + 3) = 119 $ (人)
提示:根据题意先设出第一轮比赛中男生和女生的人数。再利用参加第二轮比赛的有 91 人,其中男、女生人数之比是 $ 8:5 $ 这个条件求出参加第二轮比赛的男、女生人数,即可表示出第一轮被淘汰的男、女生人数,结合被淘汰的男、女生人数之比是 $ 3:4 $ 这个条件即可求出未知数,进而可求出参加第一轮比赛的总人数。
8. 哥哥和弟弟把压岁钱都存入银行，两人存款数的比是 $ 7 : 3 $，如果哥哥把自己的存款给弟弟 $ 200 $ 元，这时哥哥和弟弟存款数的比就变为 $ 3 : 2 $。哥哥原有存款多少元？
答案：8. $ 200÷(\dfrac{7}{7 + 3}-\dfrac{3}{3 + 2})×\dfrac{7}{7 + 3}=1400 $ (元)
提示:两人存款的总钱数不变,哥哥原来的钱数占两人总钱数的 $ \dfrac{7}{7 + 3} $,给了弟弟 200 元后,哥哥的钱数占两人总钱数的 $ \dfrac{3}{3 + 2} $,则 200 元占两人总钱数的 $ (\dfrac{7}{7 + 3}-\dfrac{3}{3 + 2}) $,求出两人的总钱数,再求哥哥原来的钱数。
提示:两人存款的总钱数不变,哥哥原来的钱数占两人总钱数的 $ \dfrac{7}{7 + 3} $,给了弟弟 200 元后,哥哥的钱数占两人总钱数的 $ \dfrac{3}{3 + 2} $,则 200 元占两人总钱数的 $ (\dfrac{7}{7 + 3}-\dfrac{3}{3 + 2}) $,求出两人的总钱数,再求哥哥原来的钱数。
9. 如图，在一个大正方形内，画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成正方形区域甲与 $ L $ 形区域乙和丙。已知三个区域甲、乙、丙的周长之比为 $ 4 : 5 : 7 $，并且区域丙的面积为 $ 48 $ 平方厘米，求大正方形的面积。
答案：9. $ 5^{2}:7^{2}=25:49 $ $ 48×\dfrac{49}{49 - 25}=98 $ (平方厘米)
提示:从题图中可以看出,L 形区域乙的周长与中正方形的周长相等,L 形区域丙的周长与大正方形的周长相等,则中正方形与大正方形的周长比是 $ 5:7 $,即边长之比也是 $ 5:7 $,则面积比是 $ 5^{2}:7^{2}=25:49 $。大正方形的面积占大正方形与中正方形面积之差(L 形区域丙的面积)的 $ \dfrac{49}{49 - 25} $,由此可求出大正方形的面积。
提示:从题图中可以看出,L 形区域乙的周长与中正方形的周长相等,L 形区域丙的周长与大正方形的周长相等,则中正方形与大正方形的周长比是 $ 5:7 $,即边长之比也是 $ 5:7 $,则面积比是 $ 5^{2}:7^{2}=25:49 $。大正方形的面积占大正方形与中正方形面积之差(L 形区域丙的面积)的 $ \dfrac{49}{49 - 25} $,由此可求出大正方形的面积。
10. 把 $ 420 $ 毫升油倒入甲、乙两个壶中，如果先把甲壶装满，乙壶只能装 $ 75\% $；如果先把乙壶装满，甲壶只能装一半。甲、乙两壶各可装油多少毫升？
答案：10. $ (1 - 75\%):(1-\dfrac{1}{2})=1:2 $ 设甲壶可装油 $ x $ 毫升,则乙壶可装油 $ 2x $ 毫升。 $ \dfrac{1}{2}x + 2x = 420 $
$ x = 168 $ $ 2x = 168×2 = 336 $
提示:由于两个壶的总容量不变,所以将 420 毫升油倒入两个壶中,两次壶中空余部分的容量相等,即甲壶容量 $ ×(1-\dfrac{1}{2})= $ 乙壶容量 $ ×(1 - 75\%) $,甲壶容量:乙壶容量 $ = (1 - 75\%):(1-\dfrac{1}{2})=1:2 $。然后根据“先把乙壶装满,甲壶只能装一半”找出等量关系式,列方程解答。(也可以根据“先把甲壶装满,乙壶只能装 75%”找出等量关系式,列方程解答)
$ x = 168 $ $ 2x = 168×2 = 336 $
提示:由于两个壶的总容量不变,所以将 420 毫升油倒入两个壶中,两次壶中空余部分的容量相等,即甲壶容量 $ ×(1-\dfrac{1}{2})= $ 乙壶容量 $ ×(1 - 75\%) $,甲壶容量:乙壶容量 $ = (1 - 75\%):(1-\dfrac{1}{2})=1:2 $。然后根据“先把乙壶装满,甲壶只能装一半”找出等量关系式,列方程解答。(也可以根据“先把甲壶装满,乙壶只能装 75%”找出等量关系式,列方程解答)
11. 在下面的长方形 $ ABCD $ 中，三角形 $ BEO $ 的面积是 $ 1 $ 平方厘米，三角形 $ ABO $ 的面积是 $ 3 $ 平方厘米，求长方形 $ ABCD $ 的面积。
答案：11. $ 3×3 = 9 $ (平方厘米) $ (3 + 9)×2 = 24 $ (平方厘米)
提示:连接 $ DE $。三角形 $ ABE $ 与三角形 $ DBE $ 同底等高,则它们的面积相等。从这两个三角形中分别减去三角形 $ BEO $,则剩下的图形面积相等,即三角形 $ ABO $ 与三角形 $ DEO $ 的面积相等。在三角形 $ DBE $ 中,三角形 $ BEO $ 与三角形 $ DEO $ 的高相等,面积比是 $ 1:3 $,则它们的底的比也是 $ 1:3 $,即 $ BO:OD = 1:3 $。在三角形 $ ABD $ 中,三角形 $ ABO $ 与三角形 $ ADO $ 的高相等,底的比是 $ 1:3 $,则它们的面积比也是 $ 1:3 $,所以三角形 $ ADO $ 的面积为 $ 3×3 = 9 $ (平方厘米)。长方形 $ ABCD $ 的面积相当于三角形 $ ABO $ 与三角形 $ ADO $ 面积和的 2 倍。
提示:连接 $ DE $。三角形 $ ABE $ 与三角形 $ DBE $ 同底等高,则它们的面积相等。从这两个三角形中分别减去三角形 $ BEO $,则剩下的图形面积相等,即三角形 $ ABO $ 与三角形 $ DEO $ 的面积相等。在三角形 $ DBE $ 中,三角形 $ BEO $ 与三角形 $ DEO $ 的高相等,面积比是 $ 1:3 $,则它们的底的比也是 $ 1:3 $,即 $ BO:OD = 1:3 $。在三角形 $ ABD $ 中,三角形 $ ABO $ 与三角形 $ ADO $ 的高相等,底的比是 $ 1:3 $,则它们的面积比也是 $ 1:3 $,所以三角形 $ ADO $ 的面积为 $ 3×3 = 9 $ (平方厘米)。长方形 $ ABCD $ 的面积相当于三角形 $ ABO $ 与三角形 $ ADO $ 面积和的 2 倍。
12. 甲、乙两人分别从 $ A $、$ B $ 两地同时出发，在 $ A $、$ B $ 两地之间往返行走，甲出发的同时，丙也从 $ A $ 地出发去 $ B $ 地。当甲、乙两人第一次迎面相遇在 $ C $ 地时，丙还有 $ 100 $ 米才到 $ C $ 地；当丙走到 $ C $ 地时，甲又往前走了 $ 108 $ 米；当丙到 $ B $ 地时，甲、乙正好第二次迎面相遇。那么 $ A $、$ B $ 两地间的路程是多少米？
答案：12. $ 108:100 = 27:25 $ $ \dfrac{27}{25}×\dfrac{1}{3}÷\dfrac{27}{25}=\dfrac{1}{3} $
$ 100÷(\dfrac{27}{25}×\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3})=3750 $ (米)
提示: $ v_{甲}:v_{丙}=108:100 = 27:25 $,则当丙到 B 地时,甲行了全程的 $ \dfrac{27}{25} $,甲、乙第二次相遇时,他们一共走了 3 个全程,所以甲、乙一共走一个全程时,甲行的只有 $ \dfrac{27}{25} $ 的 $ \dfrac{1}{3} $,所以甲、乙第一次相遇时,甲行了全程的 $ \dfrac{27}{25}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{25} $,此时丙行了全程的 $ \dfrac{9}{25}÷\dfrac{27}{25}=\dfrac{1}{3} $,所以全程为 $ 100÷(\dfrac{9}{25}-\dfrac{1}{3})=3750 $ (米)。
$ 100÷(\dfrac{27}{25}×\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3})=3750 $ (米)
提示: $ v_{甲}:v_{丙}=108:100 = 27:25 $,则当丙到 B 地时,甲行了全程的 $ \dfrac{27}{25} $,甲、乙第二次相遇时,他们一共走了 3 个全程,所以甲、乙一共走一个全程时,甲行的只有 $ \dfrac{27}{25} $ 的 $ \dfrac{1}{3} $,所以甲、乙第一次相遇时,甲行了全程的 $ \dfrac{27}{25}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{25} $,此时丙行了全程的 $ \dfrac{9}{25}÷\dfrac{27}{25}=\dfrac{1}{3} $,所以全程为 $ 100÷(\dfrac{9}{25}-\dfrac{1}{3})=3750 $ (米)。