14. 如图，在相距 12 厘米的两条平行线 d 和 c 之间，有正方形 A 和长方形 B。正方形 A 沿直线 d 以每秒 2 厘米的速度向右运动，长方形 B 沿直线 c 以每秒 2 厘米的速度向左运动。(图中数据单位：厘米)
A 与
B 两个图形有重叠部分的时间持续了(
A 与
B 两个图形有重叠部分的时间持续了(
8
)秒，其中重叠部分的面积保持不变的时间有(4
)秒。答案：
14. 8 4
提示: 题图中正方形和长方形都是以每秒 2 厘米的速度运动的, 它们的速度和是每秒 2 + 2 = 4(厘米)。第一个问题求正方形和长方形在运动过程中从开始重叠到重叠结束所用的总时间, 借助图①讲解。
两个图形运动中有重叠部分的总路程是 32 厘米, 速度和是每秒 4 厘米, 所以持续时间就是 8 秒。第二个问题求正方形和长方形在运动过程中重叠部分的面积保持不变的时间, 借助图②讲解。
两个图形运动中重叠部分的面积保持不变的总路程是 16 厘米, 速度和是每秒 4 厘米, 所以重叠部分面积保持不变的时间就是 4 秒。
14. 8 4
提示: 题图中正方形和长方形都是以每秒 2 厘米的速度运动的, 它们的速度和是每秒 2 + 2 = 4(厘米)。第一个问题求正方形和长方形在运动过程中从开始重叠到重叠结束所用的总时间, 借助图①讲解。
两个图形运动中有重叠部分的总路程是 32 厘米, 速度和是每秒 4 厘米, 所以持续时间就是 8 秒。第二个问题求正方形和长方形在运动过程中重叠部分的面积保持不变的时间, 借助图②讲解。
两个图形运动中重叠部分的面积保持不变的总路程是 16 厘米, 速度和是每秒 4 厘米, 所以重叠部分面积保持不变的时间就是 4 秒。
二、判断题
1. 永不相交的两条直线一定互相平行。(
2. 有一个角是 60°的等腰三角形一定是等边三角形。(
3. 线段比射线短，射线比直线短。(
4. 一张桌子上放着几叠碗，分别从前面、右面和上面观察，看到的图形如下，这张桌子上一共放着 9 只碗。(
5. 一个正方体与一个圆柱的底面周长相等，高也相等，它们的体积也一定相等。(
1. 永不相交的两条直线一定互相平行。(
×
)2. 有一个角是 60°的等腰三角形一定是等边三角形。(
√
)3. 线段比射线短，射线比直线短。(
×
)4. 一张桌子上放着几叠碗，分别从前面、右面和上面观察，看到的图形如下，这张桌子上一共放着 9 只碗。(
√
)5. 一个正方体与一个圆柱的底面周长相等，高也相等，它们的体积也一定相等。(
×
)答案：二、1. × 2. √ 3. × 4. √ 5. ×
三、选择题
1. 把一张圆形纸片先按照下面 3 个步骤操作，然后将纸片展开后会得到(
1. 把一张圆形纸片先按照下面 3 个步骤操作，然后将纸片展开后会得到(
D
)。答案：1. D
2. 拖拉机的前轮直径是 6 分米，后轮直径是 9 分米，行驶前两个轮胎的样子如图，当后轮转动 5 周后，前轮的样子是(
B
)。答案：2. B
解析：
后轮周长：$C_{后}=π d_{后}=9π$分米，行驶距离：$5×9π = 45π$分米。
前轮周长：$C_{前}=π d_{前}=6π$分米，前轮转动周数：$45π÷6π = 7.5$周。
$7.5$周即7周半，初始状态前轮左半圆蓝色，转动半周后右半圆蓝色。
B
前轮周长：$C_{前}=π d_{前}=6π$分米，前轮转动周数：$45π÷6π = 7.5$周。
$7.5$周即7周半，初始状态前轮左半圆蓝色，转动半周后右半圆蓝色。
B
3. 如图，平行四边形 ABCD 中，AB = 10 厘米，BC = 20 厘米，BC 边上的高是 8 厘米。EF 是 AD 和 BC 的平行线，图中涂色部分的面积是(
A.40
B.80
C.100
D.160
B
)平方厘米。A.40
B.80
C.100
D.160
答案：3. B
解析：
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC=20厘米，AD//BC。
平行四边形ABCD的面积为BC×BC边上的高=20×8=160平方厘米。
EF是AD和BC的平行线，设EF与AB交于E，与CD交于F。
将涂色部分通过平移等积变形，可发现涂色部分的面积等于平行四边形ABCD面积的一半。
所以涂色部分面积=160÷2=80平方厘米。
答案：B
平行四边形ABCD的面积为BC×BC边上的高=20×8=160平方厘米。
EF是AD和BC的平行线，设EF与AB交于E，与CD交于F。
将涂色部分通过平移等积变形，可发现涂色部分的面积等于平行四边形ABCD面积的一半。
所以涂色部分面积=160÷2=80平方厘米。
答案：B
4. 如图，两个图中的圆的半径都是 5 厘米，两个图中涂色部分的面积相比较，(
A.图①大
B.图②大
C.一样大
D.无法确定
B
)。A.图①大
B.图②大
C.一样大
D.无法确定
答案：4. B
解析：
图①涂色面积：$(2×5)^2-π×5^2=100-25π$
图②涂色面积：$π×5^2-\frac{1}{2}×(2×5)×5×2=25π-50$
$25π-50-(100-25π)=50π-150\approx50×3.14-150=157-150=7＞0$
故图②涂色面积大，选B。
图②涂色面积：$π×5^2-\frac{1}{2}×(2×5)×5×2=25π-50$
$25π-50-(100-25π)=50π-150\approx50×3.14-150=157-150=7＞0$
故图②涂色面积大，选B。
5. 如图，有一条直线和直线外的两点 A、B。连接 A、B 两点和直线上的某一个点 C 可以画出一个三角形。在直线上能够找到(
A.2
B.3
C.4
D.5
D
)个点使得画出的三角形是等腰三角形。A.2
B.3
C.4
D.5
答案：5. D
解析：
分情况讨论：
1. 以 $AC = BC$ 为腰：作线段 $AB$ 的垂直平分线，与直线交于1点；
2. 以 $AC = AB$ 为腰：以 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径画圆，与直线交于2点；
3. 以 $BC = BA$ 为腰：以 $B$ 为圆心，$BA$ 长为半径画圆，与直线交于2点。
共 $1 + 2 + 2 = 5$ 个点。
D
1. 以 $AC = BC$ 为腰：作线段 $AB$ 的垂直平分线，与直线交于1点；
2. 以 $AC = AB$ 为腰：以 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径画圆，与直线交于2点；
3. 以 $BC = BA$ 为腰：以 $B$ 为圆心，$BA$ 长为半径画圆，与直线交于2点。
共 $1 + 2 + 2 = 5$ 个点。
D
6. 如图是两个完全一样的等腰直角三角形，其中图①中涂色正方形的面积是 40 平方分米，那么图②中涂色正方形的面积是(
A.40
B.45
C.50
D.60
B
)平方分米。A.40
B.45
C.50
D.60
答案：6. B
解析：
设等腰直角三角形直角边为$a$。
图①分析：
设图①中正方形边长为$x$，由题意$x^2 = 40$。
根据等腰直角三角形性质，左上角和右下角小等腰直角三角形直角边为$x$，左下角小等腰直角三角形直角边为$\frac{x}{\sqrt{2}}$。
则$a = x + x + \frac{x}{\sqrt{2}} = 2x + \frac{x}{\sqrt{2}}$，解得$a = x(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$。
图②分析：
设图②中正方形边长为$y$，右侧小等腰直角三角形直角边为$y$。
则$a = y + y = 2y$，即$y = \frac{a}{2}$。
计算$y^2$：
由$a = x(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$，得$y = \frac{x}{2}(2 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = x(1 + \frac{\sqrt{2}}{4})$。
$\begin{aligned}y^2&=x^2(1 + \frac{\sqrt{2}}{4})^2\\&=40(1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{8})\\&=40×\frac{9}{8}\\&=45\end{aligned}$
45
图①分析：
设图①中正方形边长为$x$，由题意$x^2 = 40$。
根据等腰直角三角形性质，左上角和右下角小等腰直角三角形直角边为$x$，左下角小等腰直角三角形直角边为$\frac{x}{\sqrt{2}}$。
则$a = x + x + \frac{x}{\sqrt{2}} = 2x + \frac{x}{\sqrt{2}}$，解得$a = x(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$。
图②分析：
设图②中正方形边长为$y$，右侧小等腰直角三角形直角边为$y$。
则$a = y + y = 2y$，即$y = \frac{a}{2}$。
计算$y^2$：
由$a = x(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$，得$y = \frac{x}{2}(2 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = x(1 + \frac{\sqrt{2}}{4})$。
$\begin{aligned}y^2&=x^2(1 + \frac{\sqrt{2}}{4})^2\\&=40(1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{8})\\&=40×\frac{9}{8}\\&=45\end{aligned}$
45
7. 如图①，一个长 20 厘米、宽 8 厘米、高 10 厘米的长方体玻璃缸里有一些水。如图②，现将一端抬高后，AB = 3 厘米。如图③，如果将这端再抬高，水面恰好至玻璃缸口，这时 CD 的长为(
A.14
B.10
C.8
D.6
D
)厘米。A.14
B.10
C.8
D.6
答案：7. D
提示: 根据题图②可知, 水的体积可以看成长 20 厘米、宽 8 厘米、高 10 - 3 = 7(厘米)的长方体体积的一半, 即 20×8×7÷2 = 560(立方厘米)。根据题图③, 把水的体积扩大为原来的 2 倍, 就是一个长 10 厘米、宽 8 厘米的长方体的体积, 算出高是 560×2÷10÷8 = 14(厘米), 所以 CD = 20 - 14 = 6(厘米)。
提示: 根据题图②可知, 水的体积可以看成长 20 厘米、宽 8 厘米、高 10 - 3 = 7(厘米)的长方体体积的一半, 即 20×8×7÷2 = 560(立方厘米)。根据题图③, 把水的体积扩大为原来的 2 倍, 就是一个长 10 厘米、宽 8 厘米的长方体的体积, 算出高是 560×2÷10÷8 = 14(厘米), 所以 CD = 20 - 14 = 6(厘米)。