7. 若不等式组 $\begin{cases}x\leqslant m\\x\gt11\end{cases}$ 无解，则 $m$ 的取值范围是 ______ 。
答案：$7．m\leqslant11$
8. 若关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}2x - a\gt0\\3x - 4\lt5\end{cases}$ 有解，则 $a$ 的取值范围是 ______ 。
答案：8．a＜6
解析：
解不等式$2x - a\gt0$，得$x\gt\frac{a}{2}$；解不等式$3x - 4\lt5$，得$x\lt3$。因为不等式组有解，所以$\frac{a}{2}\lt3$，解得$a\lt6$。
$a\lt6$
$a\lt6$
9. 已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}2x + 3\geqslant x + m\frac{2x + 5}{3} - 3\lt2 - x\end{cases}$ 无解，则 $m$ 的取值范围是 ______ 。
答案：$9．m\geqslant5$
解析：
解不等式组：
1. 解$2x + 3\geqslant x + m$，得$x\geqslant m - 3$
2. 解$\frac{2x + 5}{3}-3\lt2 - x$，得$x\lt2$
因为不等式组无解，所以$m - 3\geqslant2$，解得$m\geqslant5$
$m\geqslant5$
1. 解$2x + 3\geqslant x + m$，得$x\geqslant m - 3$
2. 解$\frac{2x + 5}{3}-3\lt2 - x$，得$x\lt2$
因为不等式组无解，所以$m - 3\geqslant2$，解得$m\geqslant5$
$m\geqslant5$
10. 若关于 $x$ 的不等式 $x\lt a$ 的正整数解恰有两个，则 $a$ 的最大值为(
A.$1.5$
B.$2$
C.$2.5$
D.$3$
D
)A.$1.5$
B.$2$
C.$2.5$
D.$3$
答案：10．D
解析：
不等式$x ＜ a$的正整数解恰有两个，正整数解为1，2。则$2 ＜ a \leq 3$，所以$a$的最大值为3。
D
D
11. (2025·龙东地区)关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}2x - 3\leqslant0\\x - a\gt0\end{cases}$ 恰有 $3$ 个整数解，则 $a$ 的取值范围是 ______ 。
答案：$11．−2\leqslant a＜−1$
解析：
解不等式组：
$\begin{cases}2x - 3 \leq 0 \\x - a ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$2x - 3 \leq 0 \implies x \leq \frac{3}{2}$
解第二个不等式：$x - a ＞ 0 \implies x ＞ a$
不等式组的解集为：$a ＜ x \leq \frac{3}{2}$
因为不等式组恰有3个整数解，整数解为$-1, 0, 1$，所以$a$的取值范围需满足：
$-2 \leq a ＜ -1$
$-2\leqslant a＜-1$
$\begin{cases}2x - 3 \leq 0 \\x - a ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$2x - 3 \leq 0 \implies x \leq \frac{3}{2}$
解第二个不等式：$x - a ＞ 0 \implies x ＞ a$
不等式组的解集为：$a ＜ x \leq \frac{3}{2}$
因为不等式组恰有3个整数解，整数解为$-1, 0, 1$，所以$a$的取值范围需满足：
$-2 \leq a ＜ -1$
$-2\leqslant a＜-1$
12. 已知 $x = 1$ 是不等式 $(x - 4)(ax - 3a + 2)\lt0$ 的解，且 $x = 0$ 不是这个不等式的解，则 $a$ 的取值范围是
$\frac{2}{3}\leqslant a＜1$
。答案：$12．\frac{2}{3}\leqslant a＜1$
解析：
因为$x = 1$是不等式$(x - 4)(ax - 3a + 2) \lt 0$的解，所以将$x = 1$代入不等式得：$(1 - 4)(a × 1 - 3a + 2) \lt 0$，即$(-3)(-2a + 2) \lt 0$，化简得$6a - 6 \lt 0$，解得$a \lt 1$。
因为$x = 0$不是这个不等式的解，所以将$x = 0$代入不等式得：$(0 - 4)(a × 0 - 3a + 2) \geq 0$，即$(-4)(-3a + 2) \geq 0$，化简得$12a - 8 \geq 0$，解得$a \geq \frac{2}{3}$。
综上，$a$的取值范围是$\frac{2}{3} \leq a \lt 1$。
因为$x = 0$不是这个不等式的解，所以将$x = 0$代入不等式得：$(0 - 4)(a × 0 - 3a + 2) \geq 0$，即$(-4)(-3a + 2) \geq 0$，化简得$12a - 8 \geq 0$，解得$a \geq \frac{2}{3}$。
综上，$a$的取值范围是$\frac{2}{3} \leq a \lt 1$。
13. (2025·内江)对于 $x$，$y$ 定义了一种新运算 $G$，规定 $G(x,y)=x + 3y$，等式右侧是通常的混合运算。如果关于 $a$ 的不等式组 $\begin{cases}G(a,1 - 2a)\geqslant - 2\\G(-2a,1 + 4a)\gt P\end{cases}$ 恰好有 $3$ 个整数解，那么 $P$ 的取值范围是 ______ 。
答案：因为$G(x,y)=x + 3y$，所以关于$a$的不等式组$\begin{cases}G(a,1 - 2a)\geqslant - 2\\G(-2a,1 + 4a)\gt P\end{cases}$即为$\begin{cases}a + 3(1 - 2a)\geqslant - 2①\\-2a + 3(1 + 4a)\gt P②\end{cases}$。
解不等式①：$a + 3 - 6a\geqslant - 2$，$-5a\geqslant - 5$，$a\leqslant1$。
解不等式②：$-2a + 3 + 12a\gt P$，$10a + 3\gt P$，$a\gt\frac{P - 3}{10}$。
因为不等式组恰好有$3$个整数解，所以整数解为$a=-1,0,1$，则$-2\leqslant\frac{P - 3}{10}\lt -1$。
解$-2\leqslant\frac{P - 3}{10}$：$-20\leqslant P - 3$，$P\geqslant -17$。
解$\frac{P - 3}{10}\lt -1$：$P - 3\lt -10$，$P\lt -7$。
所以$P$的取值范围是$-17\leqslant P\lt -7$。
$-17\leqslant P\lt -7$
解不等式①：$a + 3 - 6a\geqslant - 2$，$-5a\geqslant - 5$，$a\leqslant1$。
解不等式②：$-2a + 3 + 12a\gt P$，$10a + 3\gt P$，$a\gt\frac{P - 3}{10}$。
因为不等式组恰好有$3$个整数解，所以整数解为$a=-1,0,1$，则$-2\leqslant\frac{P - 3}{10}\lt -1$。
解$-2\leqslant\frac{P - 3}{10}$：$-20\leqslant P - 3$，$P\geqslant -17$。
解$\frac{P - 3}{10}\lt -1$：$P - 3\lt -10$，$P\lt -7$。
所以$P$的取值范围是$-17\leqslant P\lt -7$。
$-17\leqslant P\lt -7$
14. 已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}5x - a\gt3(x - 1)\\2x - 1\leqslant7\end{cases}$ 的所有整数解的和为 $7$，求 $a$ 的取值范围。
答案：14．记$\begin{cases}5x−a＞3(x−1)①,\\2x−1\leqslant7②.\end{cases}$解不等式①，得$x＞\frac{a−3}{2}.$解不等式②，得$x\leqslant4.$所以不等式组的解集为$\frac{a−3}{2}＜x\leqslant4.$因为该不等式组的所有整数解的和为7，所以当$\frac{a−3}{2}\geqslant0$时，它的整数解一定是x=3,4，此时$2\leqslant\frac{a−3}{2}＜3，$解得$7\leqslant a＜9；$当$\frac{a−3}{2}＜0$时，它的整数解一定是x=−2,−1,0,1,2,3,4，此时$−3\leqslant\frac{a−3}{2}＜−2，$解得$−3\leqslant a＜−1.$所以a的取值范围是$7\leqslant a＜9$或$−3\leqslant a＜−1$
解析：
记$\begin{cases}5x - a\gt3(x - 1)①\\2x - 1\leqslant7②\end{cases}$
解不等式①：
$5x - a\gt3x - 3$
$5x - 3x\gt a - 3$
$2x\gt a - 3$
$x\gt\frac{a - 3}{2}$
解不等式②：
$2x - 1\leqslant7$
$2x\leqslant8$
$x\leqslant4$
所以不等式组的解集为$\frac{a - 3}{2}\lt x\leqslant4$
因为所有整数解的和为7，分两种情况：
情况一：整数解为3，4
此时$2\leqslant\frac{a - 3}{2}\lt3$
$4\leqslant a - 3\lt6$
$7\leqslant a\lt9$
情况二：整数解为-2，-1，0，1，2，3，4
此时$-3\leqslant\frac{a - 3}{2}\lt-2$
$-6\leqslant a - 3\lt-4$
$-3\leqslant a\lt-1$
综上，$a$的取值范围是$7\leqslant a\lt9$或$-3\leqslant a\lt-1$
解不等式①：
$5x - a\gt3x - 3$
$5x - 3x\gt a - 3$
$2x\gt a - 3$
$x\gt\frac{a - 3}{2}$
解不等式②：
$2x - 1\leqslant7$
$2x\leqslant8$
$x\leqslant4$
所以不等式组的解集为$\frac{a - 3}{2}\lt x\leqslant4$
因为所有整数解的和为7，分两种情况：
情况一：整数解为3，4
此时$2\leqslant\frac{a - 3}{2}\lt3$
$4\leqslant a - 3\lt6$
$7\leqslant a\lt9$
情况二：整数解为-2，-1，0，1，2，3，4
此时$-3\leqslant\frac{a - 3}{2}\lt-2$
$-6\leqslant a - 3\lt-4$
$-3\leqslant a\lt-1$
综上，$a$的取值范围是$7\leqslant a\lt9$或$-3\leqslant a\lt-1$