7. 若关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}5x + 3y = 5k + 2,\\2x - y = 4k + 5\end{cases}$ 的解也是不等式 $\frac{3}{2}x + 2y ＜ 7$ 的解，求 $k$ 的取值范围.
答案：7.解方程组，得$\begin{cases} x = \frac{17k + 17}{11}, \\ y = -\frac{10k + 21}{11} \end{cases}$
因为关于x，y的方程组$\begin{cases}5x + 3y = 5k + 2, \\ 2x - y = 4k + 5 \end{cases}$的解也是不等式$\frac{3}{2}x + 2y ＜ 7$的解，所以$\frac{3}{2} × \frac{17k + 17}{11} - 2 × \frac{10k + 21}{11} ＜ 7，$解得k ＜ 17
因为关于x，y的方程组$\begin{cases}5x + 3y = 5k + 2, \\ 2x - y = 4k + 5 \end{cases}$的解也是不等式$\frac{3}{2}x + 2y ＜ 7$的解，所以$\frac{3}{2} × \frac{17k + 17}{11} - 2 × \frac{10k + 21}{11} ＜ 7，$解得k ＜ 17
8. 下列各不等式与不等式 $5x ＞ 8 + 2x$ 组成的不等式组的解集为 $\frac{8}{3} ＜ x ＜ 5$ 的是(
A.$x + 5 ＜ 0$
B.$2x ＞ 10$
C.$3x - 15 ＜ 0$
D.$-x - 5 ＞ 0$
C
)A.$x + 5 ＜ 0$
B.$2x ＞ 10$
C.$3x - 15 ＜ 0$
D.$-x - 5 ＞ 0$
答案：8.C
解析：
解：解不等式$5x＞8 + 2x$，得$x＞\frac{8}{3}$。
要使不等式组解集为$\frac{8}{3}＜x＜5$，则另一个不等式的解集应为$x＜5$。
A. $x + 5＜0$，解得$x＜ - 5$，不符合。
B. $2x＞10$，解得$x＞5$，不符合。
C. $3x - 15＜0$，解得$x＜5$，符合。
D. $-x - 5＞0$，解得$x＜ - 5$，不符合。
C
要使不等式组解集为$\frac{8}{3}＜x＜5$，则另一个不等式的解集应为$x＜5$。
A. $x + 5＜0$，解得$x＜ - 5$，不符合。
B. $2x＞10$，解得$x＞5$，不符合。
C. $3x - 15＜0$，解得$x＜5$，符合。
D. $-x - 5＞0$，解得$x＜ - 5$，不符合。
C
9. 不等式组 $\begin{cases}x + 2 ＞ 3(1 - x),\\1 - 2x \leq 2\end{cases}$ 的解集为 ______ .
答案：$9.x ＞ \frac{1}{4}$
解析：
解不等式组：
$\begin{cases}x + 2 ＞ 3(1 - x) \\1 - 2x \leq 2\end{cases}$
解第一个不等式：
$x + 2 ＞ 3 - 3x$
移项得：
$x + 3x ＞ 3 - 2$
$4x ＞ 1$
$x ＞ \frac{1}{4}$
解第二个不等式：
$1 - 2x \leq 2$
移项得：
$-2x \leq 2 - 1$
$-2x \leq 1$
$x \geq -\frac{1}{2}$
综合两个不等式的解集，取交集得：
$x ＞ \frac{1}{4}$
$x ＞ \frac{1}{4}$
$\begin{cases}x + 2 ＞ 3(1 - x) \\1 - 2x \leq 2\end{cases}$
解第一个不等式：
$x + 2 ＞ 3 - 3x$
移项得：
$x + 3x ＞ 3 - 2$
$4x ＞ 1$
$x ＞ \frac{1}{4}$
解第二个不等式：
$1 - 2x \leq 2$
移项得：
$-2x \leq 2 - 1$
$-2x \leq 1$
$x \geq -\frac{1}{2}$
综合两个不等式的解集，取交集得：
$x ＞ \frac{1}{4}$
$x ＞ \frac{1}{4}$
10. 若 $-3 ＜ a \leq 3$，则关于 $x$ 的方程 $x + a = 2$ 的解的取值范围是
$-1 \leq x ＜ 5$
.答案：$10.-1 \leq x ＜ 5$
11. （2024·济南）解不等式组 $\begin{cases}4x ＞ 2(x - 1)\mathrm{①},\frac{x + 2}{2} ＜ \frac{x + 5}{3}\mathrm{②},\end{cases}$ 并写出它的所有整数解.
答案：11.解不等式①，得x ＞ -1；解不等式②，得x ＜ 4.所以原不等式组的解集是-1 ＜ x ＜ 4，所以它的所有整数解为x = 0,1,2,3
12. 若关于 $x$ 的不等式 $(a + 1)x ＞ a + 1$ 的解集为 $x ＜ 1$，则 $a$ 必须满足(
A.$a ＜ 0$
B.$a ＞ 0$
C.$a ＞ -1$
D.$a ＜ -1$
D
)A.$a ＜ 0$
B.$a ＞ 0$
C.$a ＞ -1$
D.$a ＜ -1$
答案：12.D
解析：
解：因为不等式$(a + 1)x ＞ a + 1$的解集为$x ＜ 1$，不等式两边同时除以$(a + 1)$后不等号方向改变，所以$a + 1 ＜ 0$，解得$a ＜ -1$。
D
D
13. 已知关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{2}x ＜ -\frac{a}{6} + 1$ 的所有解都小于 3. 若 $a$ 是整数，但不是正数，则满足条件的 $a$ 的值为
-3,-2,-1,0
.答案：13.-3,-2,-1,0
解析：
解：解不等式$\frac{1}{2}x ＜ -\frac{a}{6} + 1$，两边同时乘以 2，得$x ＜ -\frac{a}{3} + 2$。
因为不等式的所有解都小于 3，所以$-\frac{a}{3} + 2 \leq 3$，解得$a \geq -3$。
又因为$a$是整数且不是正数，所以$a$的值为$-3,-2,-1,0$。
-3,-2,-1,0
因为不等式的所有解都小于 3，所以$-\frac{a}{3} + 2 \leq 3$，解得$a \geq -3$。
又因为$a$是整数且不是正数，所以$a$的值为$-3,-2,-1,0$。
-3,-2,-1,0
14. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 $\begin{cases}x - a ＞ 0,\\1 - x ＞ x - 1\end{cases}$ 无解，则 $a$ 的取值范围是 ______ .
答案：$14.a \geq 1$
解析：
解不等式组：
1. 解$x - a ＞ 0$，得$x ＞ a$；
2. 解$1 - x ＞ x - 1$，移项得$1 + 1 ＞ x + x$，即$2 ＞ 2x$，两边同时除以$2$得$x ＜ 1$。
因为不等式组无解，所以$a \geq 1$。
$a \geq 1$
1. 解$x - a ＞ 0$，得$x ＞ a$；
2. 解$1 - x ＞ x - 1$，移项得$1 + 1 ＞ x + x$，即$2 ＞ 2x$，两边同时除以$2$得$x ＜ 1$。
因为不等式组无解，所以$a \geq 1$。
$a \geq 1$
15. （2025·湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买 A，B 两种香料. 已知 A 种香料的单价比 B 种香料的单价贵 3 元，且购买 4 件 A 种香料与购买 6 件 B 种香料的费用相等.
（1）求 A 种香料和 B 种香料的单价；
（2）若需购买 A 种香料和 B 种香料共 50 件，且总费用不超过 360 元，则最多能购买 A 种香料多少件？
（1）求 A 种香料和 B 种香料的单价；
（2）若需购买 A 种香料和 B 种香料共 50 件，且总费用不超过 360 元，则最多能购买 A 种香料多少件？
答案：15.(1)设A种香料的单价为x元，则B种香料的单价为(x - 3)元.由题意，得4x = 6(x - 3)，解得x = 9，所以x - 3 = 6.答：A种香料的单价为9元，B种香料的单价为6元 (2)设能购买A种香料m件，则能购买B种香料(50 - m)件.由题意，得$9m + 6(50 - m) \leq 360，$解得$m \leq 20.$答：最多能购买A种香料20件