16. (2024·安徽)已知 $a$，$b$ 满足 $a - b + 1 = 0$，$0 ＜ a + b + 1 ＜ 1$，则下列判断正确的是(
A.$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$
B.$\frac{1}{2} ＜ b ＜ 1$
C.$-2 ＜ 2a + 4b ＜ 1$
D.$-1 ＜ 4a + 2b ＜ 0$
C
)A.$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$
B.$\frac{1}{2} ＜ b ＜ 1$
C.$-2 ＜ 2a + 4b ＜ 1$
D.$-1 ＜ 4a + 2b ＜ 0$
答案：16.C 解析：因为a - b + 1 = 0，所以b = a + 1.把b = a + 1代入0 ＜ a + b + 1 ＜ 1，得0 ＜ a + a + 1 + 1 ＜ 1，解得$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}.$故选项A错误.因为a - b + 1 = 0，所以a = b - 1.把a = b - 1代入0 ＜ a + b + 1 ＜ 1，得0 ＜ b - 1 + b + 1 ＜ 1，解得$0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}.$故选项B错误.把b = a + 1代入2a + 4b，得2a + 4b = 6a + 4.由$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}，$得-2 ＜ 6a + 4 ＜ 1，即-2 ＜ 2a + 4b ＜ 1.故选项C正确.把b = a + 1代入4a + 2b，得4a + 2b = 6a + 2.由$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}，$得-4 ＜ 6a + 2 ＜ -1，即-4 ＜ 4a + 2b ＜ -1.故选项D错误.
17. 已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}3(x - a) \geq 2(x - 1),\frac{2x - 1}{3} \leq 2 - \frac{x}{2}\end{cases}$ 有 5 个整数解，则 $a$ 的取值范围是 ______ .
答案：$17.-\frac{1}{3} ＜ a \leq 0 $解析：解不等式$3(x - a) \geq 2(x - 1)，$得$x \geq 3a - 2.$解不等式$\frac{2x - 1}{3} \leq 2 - \frac{x}{2}，$得$x \leq 2.$所以原不等式组的解集为$3a - 2 \leq x \leq 2.$因为原不等式组有5个整数解，所以x = 2,1,0,-1,-2，所以$-3 ＜ 3a - 2 \leq -2，$解得$-\frac{1}{3} ＜ a \leq 0.$
18. 在一次数学活动课上，老师提出了一个问题：若 $a + b = 3$，$a ＞ 1$，$b ＞ -2$，求 $2a + 3b$ 的取值范围.
甲、乙两名同学采用了两种不同的方法解决了这个问题：
甲：由 $a + b = 3$，得 $a = 3 - b$，由 $a ＞ 1$，得 $3 - b ＞ 1$，从而 $-2 ＜ b ＜ 2$. 由 $a + b = 3$，得 $b = 3 - a$，由 $b ＞ -2$，得 $3 - a ＞ -2$，从而 $1 ＜ a ＜ 5$. 所以 $2 ＜ 2a ＜ 10$，$-6 ＜ 3b ＜ 6$，所以 $-4 ＜ 2a + 3b ＜ 16$.
乙：由 $a + b = 3$，得 $a = 3 - b$，从而 $2a + 3b = 2(3 - b) + 3b = b + 6$，由 $a ＞ 1$，得 $3 - b ＞ 1$，从而 $-2 ＜ b ＜ 2$. 所以 $4 ＜ b + 6 ＜ 8$，即 $4 ＜ 2a + 3b ＜ 8$.
(1)
(2)若 $a - b = m$(其中 $m$ 为常数)，$a \geq 2$，$b \leq -1$，求 $3a - b$ 的最小值(用含 $m$ 的代数式表示).
甲、乙两名同学采用了两种不同的方法解决了这个问题：
甲：由 $a + b = 3$，得 $a = 3 - b$，由 $a ＞ 1$，得 $3 - b ＞ 1$，从而 $-2 ＜ b ＜ 2$. 由 $a + b = 3$，得 $b = 3 - a$，由 $b ＞ -2$，得 $3 - a ＞ -2$，从而 $1 ＜ a ＜ 5$. 所以 $2 ＜ 2a ＜ 10$，$-6 ＜ 3b ＜ 6$，所以 $-4 ＜ 2a + 3b ＜ 16$.
乙：由 $a + b = 3$，得 $a = 3 - b$，从而 $2a + 3b = 2(3 - b) + 3b = b + 6$，由 $a ＞ 1$，得 $3 - b ＞ 1$，从而 $-2 ＜ b ＜ 2$. 所以 $4 ＜ b + 6 ＜ 8$，即 $4 ＜ 2a + 3b ＜ 8$.
(1)
乙
(填“甲”或“乙”)的解法正确；(2)若 $a - b = m$(其中 $m$ 为常数)，$a \geq 2$，$b \leq -1$，求 $3a - b$ 的最小值(用含 $m$ 的代数式表示).
答案：18.(1)乙 (2)因为a - b = m，所以b = a - m.因为$b \leq -1，$所以$a - m \leq -1，$所以$a \leq m - 1，$所以$2 \leq a \leq m - 1(m \geq 3).$因为3a - b = 3a - (a - m) = 2a + m，所以3a - b的最小值是2 × 2 + m = 4 + m
解析：
(1)乙
(2)因为$a - b = m$，所以$b = a - m$。因为$b \leq -1$，所以$a - m \leq -1$，所以$a \leq m - 1$。又因为$a \geq 2$，所以$2 \leq a \leq m - 1$（$m \geq 3$）。因为$3a - b = 3a - (a - m) = 2a + m$，所以当$a = 2$时，$3a - b$取得最小值，最小值为$2×2 + m = 4 + m$。
(2)因为$a - b = m$，所以$b = a - m$。因为$b \leq -1$，所以$a - m \leq -1$，所以$a \leq m - 1$。又因为$a \geq 2$，所以$2 \leq a \leq m - 1$（$m \geq 3$）。因为$3a - b = 3a - (a - m) = 2a + m$，所以当$a = 2$时，$3a - b$取得最小值，最小值为$2×2 + m = 4 + m$。
19. (新考法·新定义题)定义：若关于 $x$ 的一元一次方程的解及解的 2 倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“绝美女方程”.
例如：方程 $x + 1 = 2$ 的解为 $x = 1$，则 $2x = 2$；不等式组 $\begin{cases}2x ＞ -2,\\x + 3 \leq 5\end{cases}$ 的解集是 $-1 ＜ x \leq 2$，可以发现方程的解 $x = 1$ 和 $2x = 2$ 都在不等式组的解集 $-1 ＜ x \leq 2$ 的范围内，则称方程 $x + 1 = 2$ 为不等式组 $\begin{cases}2x ＞ -2,\\x + 3 \leq 5\end{cases}$ 的“绝美女方程”.
(1)在方程① $2x - 1 = 0$；② $3x + 4 = 0$ 中，为不等式组 $\begin{cases}2x + 4 ＞ 0,\\x - 1 \leq 0\end{cases}$ 的“绝美女方程”的是 ______ (填序号).
(2)若方程 $2x - k = 4$ 为不等式组 $\begin{cases}2x + 4 ＞ 0,\\x - 1 \leq 0\end{cases}$ 的“绝美女方程”，求 $k$ 的取值范围.
(3)若方程 $3x + 1 = x + 3$ 为不等式组 $\begin{cases}2x + 4 ＞ 0,\\x - a \leq 0\end{cases}$ 的“绝美女方程”，求 $a$ 的取值范围.
例如：方程 $x + 1 = 2$ 的解为 $x = 1$，则 $2x = 2$；不等式组 $\begin{cases}2x ＞ -2,\\x + 3 \leq 5\end{cases}$ 的解集是 $-1 ＜ x \leq 2$，可以发现方程的解 $x = 1$ 和 $2x = 2$ 都在不等式组的解集 $-1 ＜ x \leq 2$ 的范围内，则称方程 $x + 1 = 2$ 为不等式组 $\begin{cases}2x ＞ -2,\\x + 3 \leq 5\end{cases}$ 的“绝美女方程”.
(1)在方程① $2x - 1 = 0$；② $3x + 4 = 0$ 中，为不等式组 $\begin{cases}2x + 4 ＞ 0,\\x - 1 \leq 0\end{cases}$ 的“绝美女方程”的是 ______ (填序号).
(2)若方程 $2x - k = 4$ 为不等式组 $\begin{cases}2x + 4 ＞ 0,\\x - 1 \leq 0\end{cases}$ 的“绝美女方程”，求 $k$ 的取值范围.
(3)若方程 $3x + 1 = x + 3$ 为不等式组 $\begin{cases}2x + 4 ＞ 0,\\x - a \leq 0\end{cases}$ 的“绝美女方程”，求 $a$ 的取值范围.
答案：$19.(1)① (2)$因为$2x - k = 4，$所以$x = \frac{k + 4}{2}，$$2x = k + 4.$解不等式组$\begin{cases}2x + 4 ＞ 0, \\ x - 1 \leq 0 \end{cases}$得$-2 ＜ x \leq 1.$
因为方程$2x - k = 4$为不等式组$\begin{cases}2x + 4 ＞ 0, \\ x - 1 \leq 0 \end{cases}$的$“$绝美子方程$”，$
所以$\begin{cases}-2 ＜ \frac{k + 4}{2} \leq 1, \\ -2 ＜ k + 4 \leq 1 \end{cases}$
所以$-6 ＜ k \leq -3 $
$(3)$因为$3x + 1 = x + 3，$所以$x = 1,2x = 2.$
解不等等式组$\begin{cases}2x + 4 ＞ 0, \\ x - a \leq 0 \end{cases}$得$-2 ＜ x \leq a.$
因为方程$3x + 1 = x + 3$为不等式组$\begin{cases}2x + 4 ＞0, \\ x - a \leq 0 \end{cases}$的$“$绝美子方程$”，$
所以$a \geq 2$
因为方程$2x - k = 4$为不等式组$\begin{cases}2x + 4 ＞ 0, \\ x - 1 \leq 0 \end{cases}$的$“$绝美子方程$”，$
所以$\begin{cases}-2 ＜ \frac{k + 4}{2} \leq 1, \\ -2 ＜ k + 4 \leq 1 \end{cases}$
所以$-6 ＜ k \leq -3 $
$(3)$因为$3x + 1 = x + 3，$所以$x = 1,2x = 2.$
解不等等式组$\begin{cases}2x + 4 ＞ 0, \\ x - a \leq 0 \end{cases}$得$-2 ＜ x \leq a.$
因为方程$3x + 1 = x + 3$为不等式组$\begin{cases}2x + 4 ＞0, \\ x - a \leq 0 \end{cases}$的$“$绝美子方程$”，$
所以$a \geq 2$