6. 定义：任意两个数$a$，$b$，按规则$c = (a + 1)(b + 1)$运算得到一个新数$c$，称所得的新数$c$为$a$，$b$的“和积数”.
（1）若$a = 4$，$b = -2$，求$a$，$b$的“和积数”$c$；
（2）若$ab = \frac{1}{2}$，$a^2 + b^2 = 8$，求$a$，$b$的“和积数”$c$.
（1）若$a = 4$，$b = -2$，求$a$，$b$的“和积数”$c$；
（2）若$ab = \frac{1}{2}$，$a^2 + b^2 = 8$，求$a$，$b$的“和积数”$c$.
答案：6.(1)根据“和积数”的定义，得$c=(4+1)×(-2+1)=-5$
(2)根据题意，得$c=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$.因为$ab=\frac{1}{2},a^{2}+b^{2}=8$，所以$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=8+2×\frac{1}{2}=9$，所以$a+b=3$或$a+b=-3$.当$a+b=3$时，$c=\frac{1}{2}+3+1=\frac{9}{2}$；当$a+b=-3$时，$c=\frac{1}{2}-3+1=-\frac{3}{2}$.综上所述，$c$的值为$\frac{9}{2}$或$-\frac{3}{2}$
(2)根据题意，得$c=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$.因为$ab=\frac{1}{2},a^{2}+b^{2}=8$，所以$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=8+2×\frac{1}{2}=9$，所以$a+b=3$或$a+b=-3$.当$a+b=3$时，$c=\frac{1}{2}+3+1=\frac{9}{2}$；当$a+b=-3$时，$c=\frac{1}{2}-3+1=-\frac{3}{2}$.综上所述，$c$的值为$\frac{9}{2}$或$-\frac{3}{2}$
7. 我们给出如下定义：对于关于$x$的多项式，若当$x + m$取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于$x = -m$对称，称$x = -m$是它的对称轴.例如：$x^2 - 4x + 3 = x^2 - 4x + 4 - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1$.观察可以发现，当$x - 2$取任意一对互为相反数的值时，多项式$x^2 - 4x + 3$的值是相等的，则称$x^2 - 4x + 3$关于$x = 2$对称，$x = 2$是它的对称轴.
（1）将多项式$x^2 + 6x + 4$变形为$(x + m)^2 + n$的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于$x$的多项式$x^2 - kx + 4$关于$x = 3$对称，求$k$的值.
（1）将多项式$x^2 + 6x + 4$变形为$(x + m)^2 + n$的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于$x$的多项式$x^2 - kx + 4$关于$x = 3$对称，求$k$的值.
答案：7.(1)$x^{2}+6x+4=x^{2}+6x+9-9+4=(x+3)^{2}-5$，所以对称轴为$x=-3$ (2)因为$x^{2}-kx+4=(x-\frac{k}{2})^{2}+4-\frac{k^{2}}{4}$，且关于$x=3$对称，所以$\frac{k}{2}=3$，解得$k=6$
8. 若一个四位正整数$P$满足千位上的数字比百位上的数字大$2$，十位上的数字比个位上的数字大$2$，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称$P$为“双减数”.将“双减数”$P$的千位和百位上的数字组成的两位数与十位和个位上的数字组成的两位数的差记为$N(P)$.例如：四位正整数$7564$，因为$7 - 5 = 6 - 4 = 2$，且$7 \neq 6$，所以$7564$是“双减数”，此时$N(7564) = 75 - 64 = 11$.
（1）判断$8631$是否为“双减数”？若是，请求出$N(8631)$的值；若不是，请说明理由.
（2）判断“对于任意‘双减数’$A$，$N(A)$都能被$11$整除”是否正确，并说明理由.
（1）判断$8631$是否为“双减数”？若是，请求出$N(8631)$的值；若不是，请说明理由.
（2）判断“对于任意‘双减数’$A$，$N(A)$都能被$11$整除”是否正确，并说明理由.
答案：8.(1)是 因为$8-6=2,3-1=2,8 \neq 3$，所以8631为“双减数”，此时$N(8631)=86-31=55$ (2)正确 理由：设千位上的数字为$a$，十位上的数字为$b$，则百位上的数字为$a-2$，个位上的数字为$b-2$，且$a \neq b$，则$A=1000a+100(a-2)+10b+(b-2)$.由题意，$N(A)=10a+(a-2)-[10b+(b-2)]=11(a-b)$，所以$N(A)$能被11整除.