8. 如图，∠ADE = 60°，DF 平分∠ADE，∠1 = 30°。求证：DF//BE。
证明：∵ DF 平分∠ADE，∠ADE = 60°（已知），
∴
∵ ∠1 = 30°（已知），
∴
∴
证明：∵ DF 平分∠ADE，∠ADE = 60°（已知），
∴
∠FDE
= $\frac{1}{2}$∠ADE = 30°（角的平分线的定义
）。∵ ∠1 = 30°（已知），
∴
∠FDE
= ∠1
（等量代换
），∴
DF//BE
（内错角相等，两直线平行
）。答案：8. ∠FDE 角的平分线的定义 ∠FDE ∠1 等量代换 DF//BE 内错角相等，两直线平行
解析：
证明：
∵ DF 平分∠ADE，∠ADE = 60°（已知），
∴∠FDE = $\frac{1}{2}$∠ADE = 30°（角的平分线的定义）。
∵ ∠1 = 30°（已知），
∴∠FDE = ∠1（等量代换），
∴DF//BE（内错角相等，两直线平行）。
∵ DF 平分∠ADE，∠ADE = 60°（已知），
∴∠FDE = $\frac{1}{2}$∠ADE = 30°（角的平分线的定义）。
∵ ∠1 = 30°（已知），
∴∠FDE = ∠1（等量代换），
∴DF//BE（内错角相等，两直线平行）。
9. 求证：三个连续自然数之和能被 3 整除。
答案：9. 设三个连续自然数为 $a, a + 1, a + 2$，其中 $a$ 为自然数，则 $a + (a + 1) + (a + 2) = a + a + 1 + a + 2 = 3a + 3 = 3(a + 1)$。
∵ $a + 1$ 为自然数，
∴ $3(a + 1)$ 能被 3 整除，
∴ 三个连续自然数之和能被 3 整除
∵ $a + 1$ 为自然数，
∴ $3(a + 1)$ 能被 3 整除，
∴ 三个连续自然数之和能被 3 整除
10. （新考法·条件开放题）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比。如图，EF//CD，请根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF = ∠CDG，并给出证明过程。
答案：10. 答案不唯一，如添加的条件：∠B + ∠BDG = 180° 证明：
∵ EF//CD（已知），
∴ ∠BEF = ∠BCD（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠B + ∠BDG = 180°（已知），
∴ BC//DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠CDG = ∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BEF = ∠CDG（等量代换）
∵ EF//CD（已知），
∴ ∠BEF = ∠BCD（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠B + ∠BDG = 180°（已知），
∴ BC//DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠CDG = ∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BEF = ∠CDG（等量代换）
11. 在整数除法体系中，一个正整数除以 3 的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑。我们把一个正整数 a 除以 3 所得的余数记作“a 模 3”，例如：12÷3 = 4……0 记作“12 模 3 = 0”；16÷3 = 5……1 记作“16 模 3 = 1”；11÷3 = 3……2 记作“11 模 3 = 2”。
(1)直接写出结果：36 模 3 =
(2)命题：如果 a 模 3 = 1，其中 a 为正整数，那么 10a 模 3 = 1。判断该命题是否为真命题。若是，请写出证明过程；若不是，请举例说明。
(3)证明：如果 a 模 3 = 1，b 模 3 = 2，其中 a，b 为正整数，那么(a + b)模 3 = 0。
(1)直接写出结果：36 模 3 =
0
；360 模 3 =0
。(2)命题：如果 a 模 3 = 1，其中 a 为正整数，那么 10a 模 3 = 1。判断该命题是否为真命题。若是，请写出证明过程；若不是，请举例说明。
(3)证明：如果 a 模 3 = 1，b 模 3 = 2，其中 a，b 为正整数，那么(a + b)模 3 = 0。
答案：11. (1) 0 0 (2) 是真命题
∵ $a$ 模 3 = 1，其中 $a$ 为正整数，
∴ $a$ 除以 3 余 1，可以设 $a = 3k + 1$，$k$ 为自然数，则 $10a = 10(3k + 1) = 30k + 10$。
∵ 30k 能被 3 整除，10 除以 3 余 1，
∴ $(30k + 10)$ 模 3 = 1，即 $10a$ 模 3 = 1 (3)
∵ $a$ 模 3 = 1,$b$ 模 3 = 2,
∴ 设 $a = 3n + 1$,$b = 3m + 2$,$m,n$ 是自然数，
∴ $a + b = 3n + 1 + 3m + 2 = 3n + 3m + 3 = 3(n + m + 1)$,
∴ $3(n + m + 1)$ 模 3 = 0,即 $(a + b)$ 模 3 = 0
∵ $a$ 模 3 = 1，其中 $a$ 为正整数，
∴ $a$ 除以 3 余 1，可以设 $a = 3k + 1$，$k$ 为自然数，则 $10a = 10(3k + 1) = 30k + 10$。
∵ 30k 能被 3 整除，10 除以 3 余 1，
∴ $(30k + 10)$ 模 3 = 1，即 $10a$ 模 3 = 1 (3)
∵ $a$ 模 3 = 1,$b$ 模 3 = 2,
∴ 设 $a = 3n + 1$,$b = 3m + 2$,$m,n$ 是自然数，
∴ $a + b = 3n + 1 + 3m + 2 = 3n + 3m + 3 = 3(n + m + 1)$,
∴ $3(n + m + 1)$ 模 3 = 0,即 $(a + b)$ 模 3 = 0