9. 在$\triangle ABC$中，三个内角$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$满足$\angle B - \angle A = \angle C - \angle B$，则$\angle B$的度数为
60°
.答案：9.60°
解析：
解：因为$\angle B - \angle A = \angle C - \angle B$，所以$2\angle B = \angle A + \angle C$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，将$\angle A + \angle C = 2\angle B$代入得：
$2\angle B + \angle B = 180°$
$3\angle B = 180°$
$\angle B = 60°$
60°
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，将$\angle A + \angle C = 2\angle B$代入得：
$2\angle B + \angle B = 180°$
$3\angle B = 180°$
$\angle B = 60°$
60°
10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$.若$\angle 2 = 70^{\circ}$，则$\angle 1 + \angle 3 =$_________$^{\circ}$.
答案：10.140
解析：
解：
$\because \angle 2$是$\triangle ABD$的外角，
$\therefore \angle 2 = \angle 1 + \angle BAD$，即$\angle BAD = \angle 2 - \angle 1$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAC = 2\angle BAD = 2(\angle 2 - \angle 1)$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC + \angle 1 + \angle ACB = 180°$，
又$\because \angle 3 + \angle ACB = 180°$，$\therefore \angle ACB = 180° - \angle 3$。
代入得：$2(\angle 2 - \angle 1) + \angle 1 + (180° - \angle 3) = 180°$，
化简得：$2\angle 2 - \angle 1 - \angle 3 = 0$，即$\angle 1 + \angle 3 = 2\angle 2$。
$\because \angle 2 = 70°$，
$\therefore \angle 1 + \angle 3 = 2 × 70° = 140°$。
$140$
$\because \angle 2$是$\triangle ABD$的外角，
$\therefore \angle 2 = \angle 1 + \angle BAD$，即$\angle BAD = \angle 2 - \angle 1$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAC = 2\angle BAD = 2(\angle 2 - \angle 1)$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC + \angle 1 + \angle ACB = 180°$，
又$\because \angle 3 + \angle ACB = 180°$，$\therefore \angle ACB = 180° - \angle 3$。
代入得：$2(\angle 2 - \angle 1) + \angle 1 + (180° - \angle 3) = 180°$，
化简得：$2\angle 2 - \angle 1 - \angle 3 = 0$，即$\angle 1 + \angle 3 = 2\angle 2$。
$\because \angle 2 = 70°$，
$\therefore \angle 1 + \angle 3 = 2 × 70° = 140°$。
$140$
11. 在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图所示的一个零件，如果$\angle A = 52^{\circ}$，$\angle B = 25^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，$\angle D = 35^{\circ}$，$\angle E = 72^{\circ}$，那么$\angle F =$_________$^{\circ}$.
答案：
11.70 解析:如图，连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF 并延长到点N.
∵∠BEM是△ABE的外角，
∴∠BEM=∠BAE+∠B.同理,可得∠DEM=∠DAE+∠ADE，∠DFN=∠DAF+∠ADF，∠CFN=∠CAF+∠C，
∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN=∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C，即∠BED+∠CFD=∠BAC+∠B+∠C+∠FDE，
∴72°+∠CFD=52°+25°+30°+35°，
∴∠CFD=70°.
11.70 解析:如图，连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF 并延长到点N.
∵∠BEM是△ABE的外角，
∴∠BEM=∠BAE+∠B.同理,可得∠DEM=∠DAE+∠ADE，∠DFN=∠DAF+∠ADF，∠CFN=∠CAF+∠C，
∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN=∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C，即∠BED+∠CFD=∠BAC+∠B+∠C+∠FDE，
∴72°+∠CFD=52°+25°+30°+35°，
∴∠CFD=70°.
12. 如图，在$\triangle ABC$中，$BO$，$CO$分别平分$\angle ABC$和$\angle ACB$.
(1)若$\angle A = 40^{\circ}$，则$\angle BOC$的度数为
(2)求证：$\angle BOC = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle A$.
(1)若$\angle A = 40^{\circ}$，则$\angle BOC$的度数为
110°
；(2)求证：$\angle BOC = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle A$.
答案：12.(1)110° (2)
∵△ABC的内角和为180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A.
∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC= $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB= $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=90°− $\frac{1}{2}$∠A.
∵△OBC的内角和为180°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°− $\frac{1}{2}$∠A)=90°+ $\frac{1}{2}$∠A
∵△ABC的内角和为180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A.
∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC= $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB= $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=90°− $\frac{1}{2}$∠A.
∵△OBC的内角和为180°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°− $\frac{1}{2}$∠A)=90°+ $\frac{1}{2}$∠A
13. （教材 P158 练习第 1 题变式）【数学建模】如图①所示的图形我们把它称为“8 字形”，易证：$\angle A + \angle B = \angle C + \angle D$.
【简单应用】
（1）如图②，$AP$，$CP$分别平分$\angle BAD$，$\angle BCD$.若$\angle B = 36^{\circ}$，$\angle D = 16^{\circ}$，求$\angle P$的度数.
【问题探究】
（2）如图③，直线$AP$平分$\triangle ABO$的外角$\angle FAD$，$CP$平分$\triangle COD$的外角$\angle BCE$.若$\angle B = m^{\circ}$，$\angle D = n^{\circ}$，且$m - n = 20$，$mn = 300$，求$\angle P$的度数.
【简单应用】
（1）如图②，$AP$，$CP$分别平分$\angle BAD$，$\angle BCD$.若$\angle B = 36^{\circ}$，$\angle D = 16^{\circ}$，求$\angle P$的度数.
【问题探究】
（2）如图③，直线$AP$平分$\triangle ABO$的外角$\angle FAD$，$CP$平分$\triangle COD$的外角$\angle BCE$.若$\angle B = m^{\circ}$，$\angle D = n^{\circ}$，且$m - n = 20$，$mn = 300$，求$\angle P$的度数.
答案：
13.(1)
∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵易得$\begin{cases} ∠P+∠3=∠2+∠B①, \\ ∠P+∠1=∠4+∠D②, \end{cases}$
∴由①+②，得2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠B+∠D，即2∠P=∠B+∠D.
∵∠B=36°，∠D=16°，
∴2∠P=36°+16°=52°，
∴∠P=26° (2)如图，
∵AP平分△ABO的外角∠FAD，CP平分△COD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°−∠2，∠PCD=180°−∠3.
∵易得∠P+∠PAD=∠D+∠PCD，
∴∠P+(180°−∠2)=∠D+(180°−∠3)，即∠P−∠2=∠D−∠3①.
∵易得∠P+∠PAB=∠B+∠4，∠1=∠PAB，
∴∠P+∠1=∠B+∠4②.由①+②，得2∠P=∠B+∠D.
∵∠B=m°，∠D=n°，
∴∠P= $\frac{1}{2}$(∠B+∠D)= $\frac{1}{2}$×(m°+n°)= $\frac{(m + n)°}{2}$.
∵m - n=20，mn=300，
∴(m + n)²=(m - n)²+4mn=400 + 1200=1600 = 40²，即m + n=40(负值舍去)，
∴∠P= $\frac{40°}{2}$=20°
13.(1)
∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵易得$\begin{cases} ∠P+∠3=∠2+∠B①, \\ ∠P+∠1=∠4+∠D②, \end{cases}$
∴由①+②，得2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠B+∠D，即2∠P=∠B+∠D.
∵∠B=36°，∠D=16°，
∴2∠P=36°+16°=52°，
∴∠P=26° (2)如图，
∵AP平分△ABO的外角∠FAD，CP平分△COD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°−∠2，∠PCD=180°−∠3.
∵易得∠P+∠PAD=∠D+∠PCD，
∴∠P+(180°−∠2)=∠D+(180°−∠3)，即∠P−∠2=∠D−∠3①.
∵易得∠P+∠PAB=∠B+∠4，∠1=∠PAB，
∴∠P+∠1=∠B+∠4②.由①+②，得2∠P=∠B+∠D.
∵∠B=m°，∠D=n°，
∴∠P= $\frac{1}{2}$(∠B+∠D)= $\frac{1}{2}$×(m°+n°)= $\frac{(m + n)°}{2}$.
∵m - n=20，mn=300，
∴(m + n)²=(m - n)²+4mn=400 + 1200=1600 = 40²，即m + n=40(负值舍去)，
∴∠P= $\frac{40°}{2}$=20°