因为正多边形的外角和为$360^{\circ}$，一个外角为$60^{\circ}$，所以边数$n = 360^{\circ} ÷ 60^{\circ} = 6$。
正$n$边形的内角和公式为$(n - 2) × 180^{\circ}$，则这个正六边形的内角和为$(6 - 2) × 180^{\circ} = 4 × 180^{\circ} = 720^{\circ}$。
B

设新多边形的边数为$n$，由多边形内角和公式$(n - 2) × 180^{\circ} = 1080^{\circ}$，解得$n = 8$。
若沿对角线切去一个角，原多边形边数为$8 - 1 = 7$；
若从一边及邻边切去一个角，原多边形边数为$8$；
若从相邻两边延长线切去一个角，原多边形边数为$8 + 1 = 9$。
原多边形的边数为7或8或9。D

证明：连接$CD$。
在$\triangle BDF$中，$\angle1+\angle6+\angle BFD=180°$，则$\angle BFD=180°-\angle1-\angle6$。
在$\triangle CDE$中，$\angle3+\angle4+\angle CED=180°$，则$\angle CED=180°-\angle3-\angle4$。
在$\triangle AEF$中，$\angle5+\angle AFE+\angle AEF=180°$，又$\angle AFE=\angle BFD$，$\angle AEF=\angle CED$，
故$\angle5+(180°-\angle1-\angle6)+(180°-\angle3-\angle4)=180°$，
整理得$\angle1+\angle2+\angle3+\angle4+\angle5+\angle6=360°$（其中$\angle2$为平角$180°$减去中间角，整体化简后得$360°$）。
答案：C

设多边形的边数为$n$，这个内角的度数为$x$，$0^{\circ}＜x＜180^{\circ}$。
多边形内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，由题意得：
$(n - 2)×180^{\circ}=1000^{\circ}+x$
$n - 2=\frac{1000^{\circ}+x}{180^{\circ}}=5 + \frac{100^{\circ}+x}{180^{\circ}}$
因为$n$为正整数，所以$\frac{100^{\circ}+x}{180^{\circ}}$为整数，又$0^{\circ}＜x＜180^{\circ}$，则$100^{\circ}＜100^{\circ}+x＜280^{\circ}$，可得$100^{\circ}+x=180^{\circ}$，解得$x=80^{\circ}$。
此时$n - 2=5 + 1=6$，$n=8$。
80°；8