8. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于$45°$”时，首先应假设这个直角三角形中(
A.两个锐角都大于$45°$
B.两个锐角都小于$45°$
C.两个锐角都不大于$45°$
D.两个锐角都等于$45°$
A
)A.两个锐角都大于$45°$
B.两个锐角都小于$45°$
C.两个锐角都不大于$45°$
D.两个锐角都等于$45°$
答案：8. A
9. (1)三角形中至少有
(2)在一个三角形中，至少有
2
个锐角，最多有1
个直角，最多有1
个钝角；(2)在一个三角形中，至少有
1
个内角小于或等于$60°$。答案：9. (1) 2 1 1 (2) 1
10. 有下列事实：① 两点确定一条直线；② 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④ 垂直的定义。在用反证法证明命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”时，最终推出的结论与上述事实
②
矛盾(填序号)。答案：10. ②
11. 求证：两直线相交有且只有一个交点。
答案：11. 已知：直线 a, b. 求证：直线 a, b 相交时只有一个交点 P. 证明：假设 a, b 相交时不止一个交点 P, 不妨设其他交点中有一个为点 P', 此时点 P 和点 P' 在直线 a 上又在直线 b 上,
∴ 同时经过点 P 和点 P' 的直线就有两条. 这与“两点确定一条直线”矛盾,
∴ 假设不成立,
∴ 两条直线相交有且只有一个交点
∴ 同时经过点 P 和点 P' 的直线就有两条. 这与“两点确定一条直线”矛盾,
∴ 假设不成立,
∴ 两条直线相交有且只有一个交点
12. 用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数。
答案：12. 假设这两个整数都是奇数，不妨设其中一个奇数为 2n + 1, 另一个奇数为 2p + 1, n, p 为整数，则 (2n + 1)(2p + 1) = 4np + 2n + 2p + 1 = 2(2np + n + p) + 1.
∵ 无论 n, p 取什么整数， 2(2np + n + p) + 1 都是奇数，这与“两个整数的积是偶数”矛盾，
∴ 假设不成立，
∴ 如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数
∵ 无论 n, p 取什么整数， 2(2np + n + p) + 1 都是奇数，这与“两个整数的积是偶数”矛盾，
∴ 假设不成立，
∴ 如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数
13. 在一次测试中，老师出了如下题目：比较$n^{n + 1}$与$(n + 1)^n$的大小。有些同学经过计算发现：当$n = 1$，$2$时，$n^{n + 1} ＜ (n + 1)^n$，于是认为命题“若$n$为任意自然数，则$n^{n + 1} ＜ (n + 1)^n$”为真命题。他们的判断正确吗？请说明理由。
答案：13. 他们的判断不正确 理由：当 n = 3 时$, n^{n + 1} = 3^{4} = 81, (n + 1)^{n} = 4^{3} = 64, $则$ n^{n + 1} ＞ (n + 1)^{n}$