9. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 70^{\circ} $，$ D $，$ E $ 分别是边 $ AC $，$ AB $ 上的点. 若点 $ P $ 在 $ \triangle ABC $ 的外部，则 $ \angle \alpha $，$ \angle 1 $，$ \angle 2 $ 之间的数量关系为
∠2 - ∠1 = ∠α - 70°
.答案：∠2 - ∠1 = ∠α - 70°
解析：
解：连接AP。
在△AEP中，∠2=∠PAE+∠APE+∠α。
在△ADP中，∠1=∠PAD+∠APD。
因为∠PAE+∠PAD=∠A=70°，∠APE-∠APD=∠α。
所以∠2-∠1=（∠PAE+∠APE+∠α）-（∠PAD+∠APD）=（∠PAE+∠PAD）+（∠APE-∠APD）+∠α-∠α=70°+∠α-∠α+（∠APE-∠APD）=70°+∠α-∠1。
整理得∠2 - ∠1 = ∠α - 70°。
故答案为：∠2 - ∠1 = ∠α - 70°
在△AEP中，∠2=∠PAE+∠APE+∠α。
在△ADP中，∠1=∠PAD+∠APD。
因为∠PAE+∠PAD=∠A=70°，∠APE-∠APD=∠α。
所以∠2-∠1=（∠PAE+∠APE+∠α）-（∠PAD+∠APD）=（∠PAE+∠PAD）+（∠APE-∠APD）+∠α-∠α=70°+∠α-∠α+（∠APE-∠APD）=70°+∠α-∠1。
整理得∠2 - ∠1 = ∠α - 70°。
故答案为：∠2 - ∠1 = ∠α - 70°
10. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AD $ 为边 $ BC $ 上的高，$ \angle ABC = 30^{\circ} $，$ \angle CAD = 20^{\circ} $，则 $ \angle BAC $ 的度数为
80°或40°
.答案：80°或40°
解析：
解：情况一：当高$AD$在$\triangle ABC$内部时，
$\because AD⊥ BC$，$\angle CAD = 20^{\circ}$，
$\therefore \angle C=90^{\circ}-\angle CAD=70^{\circ}$，
$\because \angle ABC = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle C=80^{\circ}$；
情况二：当高$AD$在$\triangle ABC$外部时，
$\because AD⊥ BC$，$\angle CAD = 20^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD=90^{\circ}-\angle CAD=70^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle ACD=110^{\circ}$，
$\because \angle ABC = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB=40^{\circ}$；
综上，$\angle BAC$的度数为$80^{\circ}$或$40^{\circ}$。
$\because AD⊥ BC$，$\angle CAD = 20^{\circ}$，
$\therefore \angle C=90^{\circ}-\angle CAD=70^{\circ}$，
$\because \angle ABC = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle C=80^{\circ}$；
情况二：当高$AD$在$\triangle ABC$外部时，
$\because AD⊥ BC$，$\angle CAD = 20^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD=90^{\circ}-\angle CAD=70^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle ACD=110^{\circ}$，
$\because \angle ABC = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB=40^{\circ}$；
综上，$\angle BAC$的度数为$80^{\circ}$或$40^{\circ}$。
11. 如图①，$ MN // GH $，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \angle BAC = 45^{\circ} $，点 $ A $ 在 $ MN $ 上，边 $ BC $ 在 $ GH $ 上；在 $ \triangle DEF $ 中，$ \angle DFE = 90^{\circ} $，边 $ DE $ 在直线 $ AB $ 上，$ \angle EDF = 30^{\circ} $.
（1）求 $ \angle BAN $ 的度数；
（2）将 $ \triangle DEF $ 沿射线 $ BA $ 的方向平移，当点 $ F $ 在 $ MN $ 上时，如图②，求 $ \angle AFE $ 的度数；
（3）将 $ \triangle DEF $ 从图②的位置继续沿射线 $ BA $ 的方向平移，当以 $ A $，$ D $，$ F $ 为顶点的三角形是直角三角形时，求 $ \angle FAN $ 的度数.
（1）求 $ \angle BAN $ 的度数；
（2）将 $ \triangle DEF $ 沿射线 $ BA $ 的方向平移，当点 $ F $ 在 $ MN $ 上时，如图②，求 $ \angle AFE $ 的度数；
（3）将 $ \triangle DEF $ 从图②的位置继续沿射线 $ BA $ 的方向平移，当以 $ A $，$ D $，$ F $ 为顶点的三角形是直角三角形时，求 $ \angle FAN $ 的度数.
答案：
11.(1)
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°.
∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°.
∵MN//GH，
∴∠BAN=∠ABC=45°
(2)
∵∠DFE=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°.
∵∠EDF=30°，
∴∠DEF=60°.
∵∠DEF=∠EAF+∠AFE，
∴∠AFE=∠DEF - ∠EAF=60° - 45°=15°
(3)由题意，可知∠AFD=90°或∠FAD=90°.①当∠AFD=90°时，如图①，易知∠FAD+∠ADF=90°.
∵∠ADF=30°，
∴∠FAD=60°，
∴∠FAN=∠FAD - ∠BAN=60° - 45°=15°.②当∠FAD=90°时，如图②，易知∠FAN=∠FAD - ∠BAN=90° - 45°=45°.综上所述，∠FAN的度数为15°或45°
11.(1)
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°.
∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°.
∵MN//GH，
∴∠BAN=∠ABC=45°
(2)
∵∠DFE=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°.
∵∠EDF=30°，
∴∠DEF=60°.
∵∠DEF=∠EAF+∠AFE，
∴∠AFE=∠DEF - ∠EAF=60° - 45°=15°
(3)由题意，可知∠AFD=90°或∠FAD=90°.①当∠AFD=90°时，如图①，易知∠FAD+∠ADF=90°.
∵∠ADF=30°，
∴∠FAD=60°，
∴∠FAN=∠FAD - ∠BAN=60° - 45°=15°.②当∠FAD=90°时，如图②，易知∠FAN=∠FAD - ∠BAN=90° - 45°=45°.综上所述，∠FAN的度数为15°或45°
12. (2024·乐山)下列多边形中，内角和最小的是(
A
)答案：A
解析：
多边形内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$（$n$为边数，$n\geq3$且$n$为整数）。
A是三角形，$n=3$，内角和为$(3 - 2)×180^{\circ}=180^{\circ}$；
B是四边形，$n=4$，内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$；
C是五边形，$n=5$，内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$；
D是六边形，$n=6$，内角和为$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$。
比较可得$180^{\circ}＜360^{\circ}＜540^{\circ}＜720^{\circ}$，内角和最小的是A。
A
A是三角形，$n=3$，内角和为$(3 - 2)×180^{\circ}=180^{\circ}$；
B是四边形，$n=4$，内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$；
C是五边形，$n=5$，内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$；
D是六边形，$n=6$，内角和为$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$。
比较可得$180^{\circ}＜360^{\circ}＜540^{\circ}＜720^{\circ}$，内角和最小的是A。
A
13. (2024·赤峰)如图所示为正 $ n $ 边形纸片的一部分，其中 $ l $，$ m $ 是正 $ n $ 边形两条边的一部分. 若 $ l $，$ m $ 所在的直线相交形成的锐角为 $ 60^{\circ} $，则 $ n $ 的值是(
A.5
B.6
C.8
D.10
B
)A.5
B.6
C.8
D.10
答案：B
解析：
正$n$边形的每个内角为$\frac{(n - 2) × 180°}{n}$。$l$，$m$所在直线相交形成的锐角为$60°$，该锐角与两内角的补角之和为$360°$，即$2×(180° - \frac{(n - 2) × 180°}{n}) + 60° = 360°$。
化简得：$2×(180° - \frac{(n - 2) × 180°}{n}) = 300°$
$180° - \frac{(n - 2) × 180°}{n} = 150°$
$\frac{(n - 2) × 180°}{n} = 30°$
$(n - 2) × 180 = 30n$
$180n - 360 = 30n$
$150n = 360$
$n = 6$
答案：B
化简得：$2×(180° - \frac{(n - 2) × 180°}{n}) = 300°$
$180° - \frac{(n - 2) × 180°}{n} = 150°$
$\frac{(n - 2) × 180°}{n} = 30°$
$(n - 2) × 180 = 30n$
$180n - 360 = 30n$
$150n = 360$
$n = 6$
答案：B
14. 多边形剪去一个角后，多边形的外角和将(
A.减少 $ 180^{\circ} $
B.不变
C.增大 $ 180^{\circ} $
D.以上都有可能
B
)A.减少 $ 180^{\circ} $
B.不变
C.增大 $ 180^{\circ} $
D.以上都有可能
答案：B
解析：
多边形的外角和是固定的$360^{\circ}$，与多边形的边数无关。无论多边形剪去一个角后边数如何变化，其外角和始终保持不变。
B
B
15. 若一个多边形的内角和与外角和之和是 $ 900^{\circ} $，则这个多边形的边数为(
A.5
B.6
C.7
D.8
A
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案：A
解析：
设这个多边形的边数为$n$。
多边形内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，任意多边形外角和为$360^{\circ}$。
由题意得：$(n - 2)×180^{\circ} + 360^{\circ} = 900^{\circ}$
$(n - 2)×180^{\circ} = 900^{\circ} - 360^{\circ}$
$(n - 2)×180^{\circ} = 540^{\circ}$
$n - 2 = 540^{\circ}÷180^{\circ}$
$n - 2 = 3$
$n = 5$
A
多边形内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，任意多边形外角和为$360^{\circ}$。
由题意得：$(n - 2)×180^{\circ} + 360^{\circ} = 900^{\circ}$
$(n - 2)×180^{\circ} = 900^{\circ} - 360^{\circ}$
$(n - 2)×180^{\circ} = 540^{\circ}$
$n - 2 = 540^{\circ}÷180^{\circ}$
$n - 2 = 3$
$n = 5$
A
16. (2024·重庆 A 卷)如果一个多边形的每一个外角都是 $ 40^{\circ} $，那么这个多边形的边数为
9
.答案：9
解析：
因为多边形的外角和为$360^{\circ}$，每一个外角都是$40^{\circ}$，所以边数为$360^{\circ}÷40^{\circ}=9$。
17. 如图，$ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F + \angle G $ 的度数为
540°
.答案：540° 解析：连接BF，则∠A+∠G=∠ABF+∠GFB，从而将题中待求的角度和转化为五边形DCBFE的内角和.
解析：
证明：连接BF。
在△ABG中，∠A + ∠G + ∠AGB = 180°。
在△BFG中，∠ABF + ∠GFB + ∠BGF = 180°。
∵∠AGB = ∠BGF（对顶角相等），
∴∠A + ∠G = ∠ABF + ∠GFB。
五边形DCBFE的内角和为(5 - 2)×180° = 540°，即∠C + ∠D + ∠CBF + ∠BFE + ∠E = 540°。
∵∠CBF = ∠CBA + ∠ABF，∠BFE = ∠GFB + ∠GFE，
∴∠C + ∠D + ∠CBA + ∠ABF + ∠GFB + ∠GFE + ∠E = 540°。
∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = 540°。
540°
在△ABG中，∠A + ∠G + ∠AGB = 180°。
在△BFG中，∠ABF + ∠GFB + ∠BGF = 180°。
∵∠AGB = ∠BGF（对顶角相等），
∴∠A + ∠G = ∠ABF + ∠GFB。
五边形DCBFE的内角和为(5 - 2)×180° = 540°，即∠C + ∠D + ∠CBF + ∠BFE + ∠E = 540°。
∵∠CBF = ∠CBA + ∠ABF，∠BFE = ∠GFB + ∠GFE，
∴∠C + ∠D + ∠CBA + ∠ABF + ∠GFB + ∠GFE + ∠E = 540°。
∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = 540°。
540°