7. 下列计算结果为 $-a^{3}b^{6}$ 的是(
A.$-(ab^{3})^{2}$
B.$(-ab^{3})^{3}$
C.$(-ab^{2})^{3}$
D.$-(ab^{3})^{3}$
C
)A.$-(ab^{3})^{2}$
B.$(-ab^{3})^{3}$
C.$(-ab^{2})^{3}$
D.$-(ab^{3})^{3}$
答案：7. C
解析：
A. $-(ab^{3})^{2}=-a^{2}b^{6}$
B. $(-ab^{3})^{3}=-a^{3}b^{9}$
C. $(-ab^{2})^{3}=-a^{3}b^{6}$
D. $-(ab^{3})^{3}=-a^{3}b^{9}$
C
B. $(-ab^{3})^{3}=-a^{3}b^{9}$
C. $(-ab^{2})^{3}=-a^{3}b^{6}$
D. $-(ab^{3})^{3}=-a^{3}b^{9}$
C
8. (1)计算：$(-0.25)^{2025}×4^{2026}=$
(2)计算：$(\frac{12}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{13}×(\frac{1}{2})^{12}=$
(3)若 $3^{x + 2}×5^{x + 2}=15^{3x - 4}$，则 $x=$
-4
；(2)计算：$(\frac{12}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{13}×(\frac{1}{2})^{12}=$
$-\frac{25}{72}$
；(3)若 $3^{x + 2}×5^{x + 2}=15^{3x - 4}$，则 $x=$
3
。答案：$8. (1) -4 (2) -\frac{25}{72} (3) 3$
解析：
(1) $(-0.25)^{2025}×4^{2026}=(-0.25)^{2025}×4^{2025}×4=(-0.25×4)^{2025}×4=(-1)^{2025}×4=-1×4=-4$
(2) $(\frac{12}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{13}×(\frac{1}{2})^{12}=(\frac{12}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{11}×(-\frac{5}{6})^{2}×(\frac{1}{2})^{11}×\frac{1}{2}=[\frac{12}{5}×(-\frac{5}{6})×\frac{1}{2}]^{11}×\frac{25}{36}×\frac{1}{2}=(-1)^{11}×\frac{25}{72}=-1×\frac{25}{72}=-\frac{25}{72}$
(3) $3^{x + 2}×5^{x + 2}=(3×5)^{x + 2}=15^{x + 2}$，因为$3^{x + 2}×5^{x + 2}=15^{3x - 4}$，所以$15^{x + 2}=15^{3x - 4}$，则$x + 2=3x - 4$，$2x=6$，$x=3$
(2) $(\frac{12}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{13}×(\frac{1}{2})^{12}=(\frac{12}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{11}×(-\frac{5}{6})^{2}×(\frac{1}{2})^{11}×\frac{1}{2}=[\frac{12}{5}×(-\frac{5}{6})×\frac{1}{2}]^{11}×\frac{25}{36}×\frac{1}{2}=(-1)^{11}×\frac{25}{72}=-1×\frac{25}{72}=-\frac{25}{72}$
(3) $3^{x + 2}×5^{x + 2}=(3×5)^{x + 2}=15^{x + 2}$，因为$3^{x + 2}×5^{x + 2}=15^{3x - 4}$，所以$15^{x + 2}=15^{3x - 4}$，则$x + 2=3x - 4$，$2x=6$，$x=3$
9. 已知 $m^{x}=2026$，$n^{y}=2026$，且 $mn = 2026$，试说明：$x + y = xy$。
答案：9. 方法1:由 m^x = 2026,得 (m^x)^y = 2026^y，即$ m^{xy} = 2026^y; $由 n^y = 2026,得 (n^y)^x = 2026^x，即$ n^{xy} = 2026^x，$所以$ m^{xy} × n^{xy} = 2026^y × 2026^x，$所以$ (mn)^{xy} = 2026^{x + y}. $又因为 mn = 2026，所以$ 2026^{xy} = 2026^{x + y}，$所以 x + y = xy. 方法2:因为$ 2026^{x + y} = 2026^x · 2026^y = (n^y)^x · (m^x)^y = (mn)^{xy} = 2026^{xy}，$所以 x + y = xy
解析：
解：方法1：由$m^{x}=2026$，得$(m^{x})^{y}=2026^{y}$，即$m^{xy}=2026^{y}$；由$n^{y}=2026$，得$(n^{y})^{x}=2026^{x}$，即$n^{xy}=2026^{x}$。所以$m^{xy} × n^{xy}=2026^{y} × 2026^{x}$，即$(mn)^{xy}=2026^{x + y}$。又因为$mn = 2026$，所以$2026^{xy}=2026^{x + y}$，故$x + y = xy$。
方法2：$2026^{x + y}=2026^{x} · 2026^{y}=(n^{y})^{x} · (m^{x})^{y}=n^{xy} · m^{xy}=(mn)^{xy}$。因为$mn = 2026$，所以$2026^{x + y}=2026^{xy}$，故$x + y = xy$。
方法2：$2026^{x + y}=2026^{x} · 2026^{y}=(n^{y})^{x} · (m^{x})^{y}=n^{xy} · m^{xy}=(mn)^{xy}$。因为$mn = 2026$，所以$2026^{x + y}=2026^{xy}$，故$x + y = xy$。
10. 已知 $N = 3^{n}×6^{n + 2}-5×3^{2n + 1}×2^{n}$（$n$ 为正整数），试说明：$N$ 能被 $7$ 整除。
答案：10. 由题意,得$ N = 3^n × (6^n × 6^2) - 5 × (3^{2n} × 3) × 2^n = 36 × 3^n × 6^n - 15 × 3^{2n} × 2^n = 36 × 18^n - 15 × 18^n = 21 × 3 × 18^n. $因为 n 为正整数,所以 3 × 18^n 是正整数,所以 7 × 3 × 18^n 能被 7 整除,即 N 能被 7 整除
解析：
$N = 3^{n}×6^{n + 2}-5×3^{2n + 1}×2^{n}$
$= 3^{n}×(6^{n}×6^{2}) - 5×(3^{2n}×3)×2^{n}$
$= 36×3^{n}×6^{n} - 15×3^{2n}×2^{n}$
$= 36×(3×6)^{n} - 15×(3^{2}×2)^{n}$
$= 36×18^{n} - 15×18^{n}$
$= (36 - 15)×18^{n}$
$= 21×18^{n}$
$= 7×3×18^{n}$
因为$n$为正整数，所以$3×18^{n}$是正整数，所以$7×3×18^{n}$能被$7$整除，即$N$能被$7$整除。
$= 3^{n}×(6^{n}×6^{2}) - 5×(3^{2n}×3)×2^{n}$
$= 36×3^{n}×6^{n} - 15×3^{2n}×2^{n}$
$= 36×(3×6)^{n} - 15×(3^{2}×2)^{n}$
$= 36×18^{n} - 15×18^{n}$
$= (36 - 15)×18^{n}$
$= 21×18^{n}$
$= 7×3×18^{n}$
因为$n$为正整数，所以$3×18^{n}$是正整数，所以$7×3×18^{n}$能被$7$整除，即$N$能被$7$整除。
11. 已知 $3^{m}=4$，$3^{2m - 4n}=2$。若 $9^{n}=x$，则 $x^{2}$ 的值为(
A.$64$
B.$16$
C.$8$
D.$2$
C
)A.$64$
B.$16$
C.$8$
D.$2$
答案：11. C
解析：
已知$3^{m}=4$，$3^{2m - 4n}=2$。
因为$3^{2m - 4n}=3^{2m}÷3^{4n}=(3^{m})^{2}÷(3^{2n})^{2}$，且$9^{n}=(3^{2})^{n}=3^{2n}=x$，所以$3^{2m - 4n}=(3^{m})^{2}÷ x^{2}$。
将$3^{m}=4$，$3^{2m - 4n}=2$代入上式，得$4^{2}÷ x^{2}=2$，即$16÷ x^{2}=2$。
解得$x^{2}=16÷2=8$。
答案：C
因为$3^{2m - 4n}=3^{2m}÷3^{4n}=(3^{m})^{2}÷(3^{2n})^{2}$，且$9^{n}=(3^{2})^{n}=3^{2n}=x$，所以$3^{2m - 4n}=(3^{m})^{2}÷ x^{2}$。
将$3^{m}=4$，$3^{2m - 4n}=2$代入上式，得$4^{2}÷ x^{2}=2$，即$16÷ x^{2}=2$。
解得$x^{2}=16÷2=8$。
答案：C
12. （1）已知 $2^{m}=a$，$32^{n}=b$，$m$，$n$ 为正整数，用含 $a$，$b$ 的式子表示 $2^{3m + 10n - 2}$；
（2）已知 $2^{a}=3$，$4^{b}=5$，$8^{c}=7$，求 $8^{a + c - 2b}$ 的值。
（2）已知 $2^{a}=3$，$4^{b}=5$，$8^{c}=7$，求 $8^{a + c - 2b}$ 的值。
答案：12. (1) 因为$ 2^m = a, 32^n = 2^{5n} = b，$且 m, n 为正整数，所以$ 2^{3m + 10n - 2} = 2^{3m} × 2^{10n} ÷ 2^2 = (2^m)^3 × (2^{5n})^2 ÷ 4 = \frac{1}{4}a^3b^2 (2) $因为 2^a = 3, 4^b = 5, 8^c = 7，所以$ 8^{a + c - 2b} = 2^{3a + 3c - 6b} = (2^a)^3 × (2^3)^c ÷ (2^{2b})^3 = (2^a)^3 × 8^c ÷ (4^b)^3 = 3^3 × 7 ÷ 5^3 = 27 × 7 ÷ 125 = \frac{189}{125}$
解析：
（1）因为$2^{m}=a$，$32^{n}=2^{5n}=b$，所以$2^{3m + 10n - 2}=2^{3m}×2^{10n}÷2^{2}=(2^{m})^{3}×(2^{5n})^{2}÷4=a^{3}b^{2}÷4=\frac{1}{4}a^{3}b^{2}$。
（2）因为$2^{a}=3$，$4^{b}=2^{2b}=5$，$8^{c}=2^{3c}=7$，所以$8^{a + c - 2b}=2^{3(a + c - 2b)}=2^{3a + 3c - 6b}=(2^{a})^{3}×(2^{3c})÷(2^{2b})^{3}=3^{3}×7÷5^{3}=27×7÷125=\frac{189}{125}$。
（2）因为$2^{a}=3$，$4^{b}=2^{2b}=5$，$8^{c}=2^{3c}=7$，所以$8^{a + c - 2b}=2^{3(a + c - 2b)}=2^{3a + 3c - 6b}=(2^{a})^{3}×(2^{3c})÷(2^{2b})^{3}=3^{3}×7÷5^{3}=27×7÷125=\frac{189}{125}$。
13. 对于整数 $a$，$b$ 定义运算：$a※b=(a^{b})^{m}+(b^{a})^{n}$(其中 $m$，$n$ 为常数)，如 $3※2=(3^{2})^{m}+(2^{3})^{n}$。
(1)填空：当 $m = 1$，$n = 2026$ 时，$2※1=$
(2)若 $1※4 = 10$，$2※2 = 15$，求 $4^{2m + n - 1}$ 的值。
(1)填空：当 $m = 1$，$n = 2026$ 时，$2※1=$
3
；(2)若 $1※4 = 10$，$2※2 = 15$，求 $4^{2m + n - 1}$ 的值。
答案：13. (1) 3 解析$:2 ※ 1 = (2^1)^1 + (1^2)^{2026} = 2 + 1 = 3.$
(2) 因为 1 ※ 4 = 10, 2 ※ 2 = 15，所以$ (1^4)^m + (4^1)^n = 10, (2^2)^m + (2^2)^n = 15. $整理,得 4^n = 9, 4^m + 4^n = 15，所以 4^m = 6，所以$ 4^{2m + n - 1} = 4^{2m} × 4^n ÷ 4 = (4^m)^2 × 4^n ÷ 4 = 6^2 × 9 ÷ 4 = 81$
(2) 因为 1 ※ 4 = 10, 2 ※ 2 = 15，所以$ (1^4)^m + (4^1)^n = 10, (2^2)^m + (2^2)^n = 15. $整理,得 4^n = 9, 4^m + 4^n = 15，所以 4^m = 6，所以$ 4^{2m + n - 1} = 4^{2m} × 4^n ÷ 4 = (4^m)^2 × 4^n ÷ 4 = 6^2 × 9 ÷ 4 = 81$