10. 一个长方体游泳池的长为$(4a^{2}+9b^{2})m$，宽为$(2a + 3b)m$，高为$(2a - 3b)m$，则这个长方体游泳池的容积是
$(16a^4 - 81b^4)$
$m^{3}$。答案：10.$(16a^4 - 81b^4)$
解析：
长方体游泳池的容积 = 长×宽×高，即：
$\begin{aligned}&(4a^{2}+9b^{2})(2a + 3b)(2a - 3b)\\=&(4a^{2}+9b^{2})[(2a)^{2}-(3b)^{2}]\\=&(4a^{2}+9b^{2})(4a^{2}-9b^{2})\\=&(4a^{2})^{2}-(9b^{2})^{2}\\=&16a^{4}-81b^{4}\end{aligned}$
$(16a^4 - 81b^4)$
$\begin{aligned}&(4a^{2}+9b^{2})(2a + 3b)(2a - 3b)\\=&(4a^{2}+9b^{2})[(2a)^{2}-(3b)^{2}]\\=&(4a^{2}+9b^{2})(4a^{2}-9b^{2})\\=&(4a^{2})^{2}-(9b^{2})^{2}\\=&16a^{4}-81b^{4}\end{aligned}$
$(16a^4 - 81b^4)$
11. 用平方差公式计算：
（1）$(x^{3}-9y)(x^{3}+9y)$；
（2）$(2a-\frac{1}{3}b)(-2a-\frac{1}{3}b)$；
（3）$203×197$；
（4）$29\frac{6}{7}×30\frac{1}{7}$。
（1）$(x^{3}-9y)(x^{3}+9y)$；
（2）$(2a-\frac{1}{3}b)(-2a-\frac{1}{3}b)$；
（3）$203×197$；
（4）$29\frac{6}{7}×30\frac{1}{7}$。
答案：11.(1) $x^6 - 81y^2$ (2) $\frac{1}{9}b^2 - 4a^2$ (3) 39991 (4) $899\frac{48}{49}$
解析：
解：$(2a - \frac{1}{3}b)(-2a - \frac{1}{3}b)$
$=(-\frac{1}{3}b + 2a)(-\frac{1}{3}b - 2a)$
$=(-\frac{1}{3}b)^2 - (2a)^2$
$=\frac{1}{9}b^2 - 4a^2$
$=(-\frac{1}{3}b + 2a)(-\frac{1}{3}b - 2a)$
$=(-\frac{1}{3}b)^2 - (2a)^2$
$=\frac{1}{9}b^2 - 4a^2$
12. (2025· 湖南)先化简，再求值：(x + 2)(x - 2)+x(1 - x)，其中x = 6。
答案：12.原式 $= x^2 - 4 + x - x^2 = x - 4$. 当 $x = 6$ 时，原式 $= 6 - 4 = 2$
解析：
解：原式$=(x + 2)(x - 2)+x(1 - x)$
$=x^2 - 4 + x - x^2$
$=x - 4$。
当$x = 6$时，原式$=6 - 4 = 2$。
$=x^2 - 4 + x - x^2$
$=x - 4$。
当$x = 6$时，原式$=6 - 4 = 2$。
13. (新情境·现实生活)如图所示为某圆形景观广场，图中小黑点代表喷水口，其中圆心是广场中心喷水口，小红统计喷水口的数量，发现了一些规律，记每个圆内喷水口的数量从内向外分别记为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，…，$S_{n}$，$n$为正整数，则$S_{1}=1$，$S_{2}=1 + 8 = 9$，$S_{3}=1 + 8 + 16 = 25$……
(1)$S_{4}=$
(2)小红通过计算发现任意两个连续奇数的平方差是整数$k$的倍数，写出$k$的最大值，并结合图形简述理由。
(3)任意两个奇数的平方差还满足(2)中的结论吗？请从“数”和“形”两个角度说明理由。
(1)$S_{4}=$
49
，$S_{n}=$$(2n - 1)^2$
。(2)小红通过计算发现任意两个连续奇数的平方差是整数$k$的倍数，写出$k$的最大值，并结合图形简述理由。
(3)任意两个奇数的平方差还满足(2)中的结论吗？请从“数”和“形”两个角度说明理由。
答案：13.(1) 49 $(2n - 1)^2$ (2) 设两个连续的奇数分别为 $2n + 1$ 和 $2n - 1$，$n$ 为正整数. 因为 $(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = 4n · 2 = 8n$，所以 $k$ 的最大值为 8 理由：从图形上看，任意两个连续奇数的平方差就是圆环里黑点的个数，都是 8 的倍数. (3) 任意两个奇数的平方差仍然满足(2)中的结论 理由：设两个奇数分别为
$2m + 1$ 和 $2n + 1$，$m,n$ 均为整数. 从数上看：$(2m + 1)^2 - (2n + 1)^2 = 4(m + n + 1)(m - n)$. 如果 $m,n$ 都是奇数或偶数，那么 $m - n$ 为偶数，$4(m + n + 1)(m - n)$ 为 8 的倍数；如果 $m,n$ 中一个是奇数，另一个为偶数，那么 $m + n + 1$ 为偶数，$4(m + n + 1)(m - n)$ 为 8 的倍数，所以 $(2m + 1)^2 - (2n + 1)^2$ 仍为 8 的倍数. 从图形上看：任意两个奇数的平方差就是圆环里黑点的个数，都是 8 的倍数.
$2m + 1$ 和 $2n + 1$，$m,n$ 均为整数. 从数上看：$(2m + 1)^2 - (2n + 1)^2 = 4(m + n + 1)(m - n)$. 如果 $m,n$ 都是奇数或偶数，那么 $m - n$ 为偶数，$4(m + n + 1)(m - n)$ 为 8 的倍数；如果 $m,n$ 中一个是奇数，另一个为偶数，那么 $m + n + 1$ 为偶数，$4(m + n + 1)(m - n)$ 为 8 的倍数，所以 $(2m + 1)^2 - (2n + 1)^2$ 仍为 8 的倍数. 从图形上看：任意两个奇数的平方差就是圆环里黑点的个数，都是 8 的倍数.