1. 从前，一位庄园主把一块边长为 $ a $ 米 $ (a＞6) $ 的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加 6 米，相邻的另一边减少 6 米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，那么你觉得张老汉的租地面积会(
A.没有变化
B.变大
C.变小
D.无法确定
C
)A.没有变化
B.变大
C.变小
D.无法确定
答案：1.C
解析：
原正方形土地面积为 $a^2$ 平方米。
变化后长方形土地的长为 $(a + 6)$ 米，宽为 $(a - 6)$ 米，面积为 $(a + 6)(a - 6) = a^2 - 36$ 平方米。
因为 $a^2 - 36 ＜ a^2$，所以租地面积变小。
C
变化后长方形土地的长为 $(a + 6)$ 米，宽为 $(a - 6)$ 米，面积为 $(a + 6)(a - 6) = a^2 - 36$ 平方米。
因为 $a^2 - 36 ＜ a^2$，所以租地面积变小。
C
2. (1)已知 $ m + n = 3 $，$ m^{2}+n^{2}=5 $，则 $ mn = $
(2)已知 $ a - 3b = 3 $，$ ab = 2 $，则 $ (a + 3b)^{2}= $
(3)已知 $ (7 - x)(8 - x)=6 $，则 $ (8 - x)^{2}+(7 - x)^{2}= $
2
；(2)已知 $ a - 3b = 3 $，$ ab = 2 $，则 $ (a + 3b)^{2}= $
33
；(3)已知 $ (7 - x)(8 - x)=6 $，则 $ (8 - x)^{2}+(7 - x)^{2}= $
13
.答案：2.(1)2 (2)33 (3)13
解析：
(1)因为$m + n = 3$，所以$(m + n)^2=3^2=9$，即$m^2 + 2mn + n^2=9$。又因为$m^2 + n^2=5$，所以$5 + 2mn=9$，$2mn=4$，$mn = 2$。
(2)因为$a - 3b = 3$，所以$(a - 3b)^2=3^2=9$，即$a^2 - 6ab + 9b^2=9$。则$(a + 3b)^2=a^2 + 6ab + 9b^2=(a^2 - 6ab + 9b^2)+12ab=9 + 12×2=9 + 24=33$。
(3)设$A = 8 - x$，$B = 7 - x$，则$A - B=(8 - x)-(7 - x)=1$，$AB = 6$。所以$A^2 + B^2=(A - B)^2 + 2AB=1^2 + 2×6=1 + 12=13$，即$(8 - x)^2+(7 - x)^2 = 13$。
(2)因为$a - 3b = 3$，所以$(a - 3b)^2=3^2=9$，即$a^2 - 6ab + 9b^2=9$。则$(a + 3b)^2=a^2 + 6ab + 9b^2=(a^2 - 6ab + 9b^2)+12ab=9 + 12×2=9 + 24=33$。
(3)设$A = 8 - x$，$B = 7 - x$，则$A - B=(8 - x)-(7 - x)=1$，$AB = 6$。所以$A^2 + B^2=(A - B)^2 + 2AB=1^2 + 2×6=1 + 12=13$，即$(8 - x)^2+(7 - x)^2 = 13$。
3. 如图，通过算 2 次的思想计算图中涂色部分的面积，可得到关于 $ a $，$ b $ 的等量关系.其中图①是
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
；图②是$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
；图③是$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$
.答案：$3.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$
4. 用乘法公式计算：
（1）$ (x + 1)(x - 1)(x^{2}+1)(x^{4}+1) $；
（2）$ (2a + b)^{2}-(2a - 3b)(2a + 3b) $.
（1）$ (x + 1)(x - 1)(x^{2}+1)(x^{4}+1) $；
（2）$ (2a + b)^{2}-(2a - 3b)(2a + 3b) $.
答案：$4.(1)x^8-1 (2)4ab+10b^2$
解析：
（1）$(x + 1)(x - 1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)$
$=(x^{2}-1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)$
$=(x^{4}-1)(x^{4}+1)$
$=x^{8}-1$
（2）$(2a + b)^{2}-(2a - 3b)(2a + 3b)$
$=4a^{2}+4ab + b^{2}-(4a^{2}-9b^{2})$
$=4a^{2}+4ab + b^{2}-4a^{2}+9b^{2}$
$=4ab + 10b^{2}$
$=(x^{2}-1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)$
$=(x^{4}-1)(x^{4}+1)$
$=x^{8}-1$
（2）$(2a + b)^{2}-(2a - 3b)(2a + 3b)$
$=4a^{2}+4ab + b^{2}-(4a^{2}-9b^{2})$
$=4a^{2}+4ab + b^{2}-4a^{2}+9b^{2}$
$=4ab + 10b^{2}$
5. 先化简，再求值：$ 4(x - 1)^{2}-(2x + 3)(2x - 3) $，其中 $ x = \frac{1}{2} $.
答案：5.原式$=4(x^2-2x+1)-(4x^2-9)=4x^2-8x+4-4x^2+9=-8x+13.$当$x=\frac{1}{2}$时,原式$=-8×\frac{1}{2}+13=-4+13=9$
6. 不论 $ a $，$ b $ 取何有理数，代数式 $ a^{2}+b^{2}-2a - 4b + 5 $ 的值总是(
A.负数
B.0
C.正数
D.非负数
D
)A.负数
B.0
C.正数
D.非负数
答案：6.D 解析$:a^2+b^2-2a-4b+5=(a^2-2a+1)+(b^2-4b+4)=(a-1)^2+(b-2)^2.$因为$(a-1)^2≥0,(b-2)^2≥0,$所以$(a-1)^2+(b-2)^2≥0.$所以不论a,b取何有理数,代数式$a^2+b^2-2a-4b+5$的值总是非负数.
7. 将四张长为 $ a $、宽为 $ b $ 的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为 $ a + b $ 的正方形，则图中阴影部分的面积为
$2ab-2b^2$
.答案：$7.2ab-2b^2$