8. (新情境·数学游戏)填数游戏：如图，把数字 $ 1∼9 $ 填入构成三角形的 9 个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于 17，将每边四个数字的平方和分别记为 $ A $，$ B $，$ C $，已知 $ A + B + C = 299 $.若将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为 $ x $，$ y $，$ x + y $，则 $ xy $ 的值为
2
.答案：8.2 解析:因为数字1~9的和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,各边上的四个数字的和都等于17,所以17×3-45=6,x+y+(x+y)=6,即x+y=3.因为每边四个数字的平方和分别记为A,B,C,并满足A+B+C=299,且$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=285,$所以$x^2+y^2+(x+y)^2=299-285,$所以$x^2+y^2+9=299-285,$所以$x^2+y^2=5,$所以$(x+y)^2-2xy=5,$所以xy=2.
解析：
数字1~9的和为$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$。
各边上四个数字的和都等于17，三条边总和为$17×3=51$，顶点数字$x$，$y$，$x+y$各重复一次，故$51 - 45 = 6$，即$x + y + (x + y) = 6$，解得$x + y = 3$。
数字1~9的平方和为$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=285$。
已知$A + B + C = 299$，则顶点数字平方和为$299 - 285 = 14$，即$x^2 + y^2 + (x + y)^2 = 14$。
将$x + y = 3$代入，得$x^2 + y^2 + 9 = 14$，故$x^2 + y^2 = 5$。
由$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，得$3^2 = 5 + 2xy$，解得$xy = 2$。
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各边上四个数字的和都等于17，三条边总和为$17×3=51$，顶点数字$x$，$y$，$x+y$各重复一次，故$51 - 45 = 6$，即$x + y + (x + y) = 6$，解得$x + y = 3$。
数字1~9的平方和为$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=285$。
已知$A + B + C = 299$，则顶点数字平方和为$299 - 285 = 14$，即$x^2 + y^2 + (x + y)^2 = 14$。
将$x + y = 3$代入，得$x^2 + y^2 + 9 = 14$，故$x^2 + y^2 = 5$。
由$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，得$3^2 = 5 + 2xy$，解得$xy = 2$。
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9. 计算：
（1）$ [(x + y)^{2}+(x - y)^{2}](2x^{2}-2y^{2}) $；
（2）$ (a - 5b + c)(a + 5b - c) $；
（3）（易错题）$ (2x + 3y)^{2}(2x - 3y)^{2} $；
（4）$ (4a + \frac{1}{16}b)^{2}-(4a - \frac{1}{16}b)^{2} $.
（1）$ [(x + y)^{2}+(x - y)^{2}](2x^{2}-2y^{2}) $；
（2）$ (a - 5b + c)(a + 5b - c) $；
（3）（易错题）$ (2x + 3y)^{2}(2x - 3y)^{2} $；
（4）$ (4a + \frac{1}{16}b)^{2}-(4a - \frac{1}{16}b)^{2} $.
答案：$9.(1)4x^4-4y^4 (2)a^2-25b^2+10bc-c^2$
$(3)16x^4-72x^2y^2+81y^4 [$易错分析]先运用完全平方公式得到三项与三项的积,运算容易出错.如果先逆用积的乘方公式变形为$[(2x+3y)(2x-3y)]^2,$再对括号内的两个多项式运用平方差公式,然后运用完全平方公式,可减少出错.
(4)ab
$(3)16x^4-72x^2y^2+81y^4 [$易错分析]先运用完全平方公式得到三项与三项的积,运算容易出错.如果先逆用积的乘方公式变形为$[(2x+3y)(2x-3y)]^2,$再对括号内的两个多项式运用平方差公式,然后运用完全平方公式,可减少出错.
(4)ab
10. （新情境·现实生活）如图，现有一块长为 $ (3a + b) $ 米、宽为 $ (a + b) $ 米的长方形地块，有关部门计划对涂色部分进行绿化，中间预留部分是边长为 $ (2a - b) $ 米的正方形.
（1）求绿化的面积（用含 $ a $，$ b $ 的代数式表示，并化简）；
（2）若 $ a = 3 $，$ b = 2 $，绿化成本为 100 元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
（1）求绿化的面积（用含 $ a $，$ b $ 的代数式表示，并化简）；
（2）若 $ a = 3 $，$ b = 2 $，绿化成本为 100 元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
答案：10.(1)长方形地块的面积为$(3a+b)(a+b)=(3a^2+4ab+b^2)$平方米,中间预留部分的面积为$(2a-b)^2=(4a^2-4ab+b^2)$平方米,所以绿化的面积为$3a^2+4ab+b^2-(4a^2-4ab+b^2)=(8ab-a^2)$平方米 (2)当a=3,b=2时$,8ab-a^2=8×3×2-3^2=48-9=39,39×100=3900($元),所以完成绿化共需要3900元
解析：
（1）长方形地块的面积为$(3a + b)(a + b)$
$\begin{aligned}(3a + b)(a + b)&=3a · a + 3a · b + b · a + b · b\\&=3a^2 + 3ab + ab + b^2\\&=3a^2 + 4ab + b^2\end{aligned}$
中间预留正方形的面积为$(2a - b)^2$
$\begin{aligned}(2a - b)^2&=(2a)^2 - 2 · 2a · b + b^2\\&=4a^2 - 4ab + b^2\end{aligned}$
绿化面积 = 长方形面积 - 正方形面积，即：
$\begin{aligned}&3a^2 + 4ab + b^2 - (4a^2 - 4ab + b^2)\\=&3a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2\\=&-a^2 + 8ab\end{aligned}$
（2）当$a = 3$，$b = 2$时，绿化面积为：
$\begin{aligned}-a^2 + 8ab&=-3^2 + 8 × 3 × 2\\&=-9 + 48\\&=39\end{aligned}$
绿化成本为$39 × 100 = 3900$元。
答：（1）绿化面积为$-a^2 + 8ab$平方米；（2）完成绿化共需要3900元。
$\begin{aligned}(3a + b)(a + b)&=3a · a + 3a · b + b · a + b · b\\&=3a^2 + 3ab + ab + b^2\\&=3a^2 + 4ab + b^2\end{aligned}$
中间预留正方形的面积为$(2a - b)^2$
$\begin{aligned}(2a - b)^2&=(2a)^2 - 2 · 2a · b + b^2\\&=4a^2 - 4ab + b^2\end{aligned}$
绿化面积 = 长方形面积 - 正方形面积，即：
$\begin{aligned}&3a^2 + 4ab + b^2 - (4a^2 - 4ab + b^2)\\=&3a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2\\=&-a^2 + 8ab\end{aligned}$
（2）当$a = 3$，$b = 2$时，绿化面积为：
$\begin{aligned}-a^2 + 8ab&=-3^2 + 8 × 3 × 2\\&=-9 + 48\\&=39\end{aligned}$
绿化成本为$39 × 100 = 3900$元。
答：（1）绿化面积为$-a^2 + 8ab$平方米；（2）完成绿化共需要3900元。
11. 求算式 $ (2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×···×(2^{32}+1)+1 $ 的结果的个位数字.
答案：11.原式$=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×⋯×(2^{32}+1)+1=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×⋯×(2^{32}+1)+1=2^{64}-1+1=2^{64}.$因为$2^1$的个位数字为$2,2^2$的个位数字为$4,2^3$的个位数字为$8,2^4$的个位数字为$6,2^5$的个位数字为2,…,所以2^n的个位数字是2,4,8,6的循环.因为64÷4=16,所以原式的结果的个位数字是6
解析：
原式$=(2-1)×(2+1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×···×(2^{32}+1)+1$
$=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×···×(2^{32}+1)+1$
$=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)×···×(2^{32}+1)+1$
$=···$
$=2^{64}-1+1$
$=2^{64}$
因为$2^{1}=2$，个位数字为2；$2^{2}=4$，个位数字为4；$2^{3}=8$，个位数字为8；$2^{4}=16$，个位数字为6；$2^{5}=32$，个位数字为2，……，所以$2^{n}$的个位数字以2,4,8,6循环。
又因为$64÷4=16$，所以$2^{64}$的个位数字为6。
故原式结果的个位数字是6。
$=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×···×(2^{32}+1)+1$
$=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)×···×(2^{32}+1)+1$
$=···$
$=2^{64}-1+1$
$=2^{64}$
因为$2^{1}=2$，个位数字为2；$2^{2}=4$，个位数字为4；$2^{3}=8$，个位数字为8；$2^{4}=16$，个位数字为6；$2^{5}=32$，个位数字为2，……，所以$2^{n}$的个位数字以2,4,8,6循环。
又因为$64÷4=16$，所以$2^{64}$的个位数字为6。
故原式结果的个位数字是6。