1. 已知$(x + y)^2 = 24$，$(x - y)^2 = 8$，则$x^2 + y^2$的值为
16
，$xy$的值为4
。答案：1. 16 4
解析：
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 24$，$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 8$。
两式相加：$2(x^2 + y^2) = 32$，得$x^2 + y^2 = 16$。
两式相减：$4xy = 16$，得$xy = 4$。
16；4
两式相加：$2(x^2 + y^2) = 32$，得$x^2 + y^2 = 16$。
两式相减：$4xy = 16$，得$xy = 4$。
16；4
2. 若$x(5 - x) = 4$，则$x^2 + (x - 5)^2$的值为
17
。答案：2. 17
解析：
由$x(5 - x) = 4$，得$-x(x - 5) = 4$，即$x(x - 5) = -4$。
$x^2 + (x - 5)^2 = x^2 + x^2 - 10x + 25 = 2x^2 - 10x + 25 = 2(x^2 - 5x) + 25$。
因为$x(x - 5) = x^2 - 5x = -4$，所以原式$= 2×(-4) + 25 = -8 + 25 = 17$。
17
$x^2 + (x - 5)^2 = x^2 + x^2 - 10x + 25 = 2x^2 - 10x + 25 = 2(x^2 - 5x) + 25$。
因为$x(x - 5) = x^2 - 5x = -4$，所以原式$= 2×(-4) + 25 = -8 + 25 = 17$。
17
3. 已知$x + \frac{1}{x} = 3$，求下面各式的值：
（1）$(x - \frac{1}{x})^2$；
（2）$x^4 + \frac{1}{x^4}$。
（1）$(x - \frac{1}{x})^2$；
（2）$x^4 + \frac{1}{x^4}$。
答案：3. (1)因为$x+\frac{1}{x}=3$，所以$(x+\frac{1}{x})^2=9$，即$x^{2}+2x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=9$，所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$，所以$(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}-2x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2=7 - 2=5$ (2)由(1)，得$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$，两边平方，得$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=49$，即$x^{4}+2x^{2}·\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}=49$，所以$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=49 - 2=47$
解析：
（1）因为$x + \frac{1}{x} = 3$，所以$(x + \frac{1}{x})^2 = 9$，即$x^2 + 2x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$，所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$，则$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 7 - 2 = 5$
（2）由（1）知$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$，两边平方得$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 49$，即$x^4 + 2x^2·\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 49$，所以$x^4 + \frac{1}{x^4} = 49 - 2 = 47$
（2）由（1）知$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$，两边平方得$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 49$，即$x^4 + 2x^2·\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 49$，所以$x^4 + \frac{1}{x^4} = 49 - 2 = 47$
4. 计算：
（1）$38.9^2 - 2×48.9×38.9 + 48.9^2$；
（2）$(\frac{1}{3}x - 1)^2(1 + \frac{1}{9}x^2)^2(1 + \frac{1}{3}x)^2$；
（3）$34^2 + 34×32 + 16^2$；
（4）$2024^2 - 2023×2025$。
（1）$38.9^2 - 2×48.9×38.9 + 48.9^2$；
（2）$(\frac{1}{3}x - 1)^2(1 + \frac{1}{9}x^2)^2(1 + \frac{1}{3}x)^2$；
（3）$34^2 + 34×32 + 16^2$；
（4）$2024^2 - 2023×2025$。
答案：4. (1)原式$=38.9^{2}-2×38.9×48.9 + 48.9^{2}=(38.9 - 48.9)^{2}=(-10)^{2}=100$ (2)原式$=[(\frac{1}{3}x - 1)(\frac{1}{3}x + 1)]^{2}=(1+\frac{1}{9}x^{2})^{2}=(\frac{1}{9}x^{2}-1)^{2}(\frac{1}{9}x^{2}+1)^{2}=[(\frac{1}{9}x^{2}-1)·(\frac{1}{9}x^{2}+1)]^{2}=(\frac{1}{81}x^{4}-1)^{2}=\frac{1}{6561}x^{8}-\frac{2}{81}x^{4}+1$ (3)原式$=34^{2}+2×34×16 + 16^{2}=(34 + 16)^{2}=50^{2}=2500$ (4)原式$=2024^{2}-(2024 - 1)×(2024 + 1)=2024^{2}-2024^{2}+1=1$
5. (2024·凉山)已知$a^2 - b^2 = 12$，且$a - b = -2$，则$a + b$的值为
-6
。答案：5. -6
解析：
因为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，已知$a^2 - b^2 = 12$，$a - b = -2$，所以$(a + b)×(-2) = 12$，则$a + b = 12÷(-2) = -6$。
-6
-6
6. 已知$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10 = 0$，则$xy$的值为
-3
。答案：6. -3
解析：
解：$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10 = 0$，
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = 0$，
$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 0$，
因为$(x - 1)^2 \geq 0$，$(y + 3)^2 \geq 0$，
所以$x - 1 = 0$，$y + 3 = 0$，
解得$x = 1$，$y = -3$，
则$xy = 1×(-3) = -3$。
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = 0$，
$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 0$，
因为$(x - 1)^2 \geq 0$，$(y + 3)^2 \geq 0$，
所以$x - 1 = 0$，$y + 3 = 0$，
解得$x = 1$，$y = -3$，
则$xy = 1×(-3) = -3$。
7. 已知$(x - y - 165)^2 + |x + y + 2| = 0$，求代数式$x^2 - y^2$的值。
答案：7. 由题意，得$x - y=165$，$x + y=-2$，所以$x^{2}-y^{2}=(x - y)·(x + y)=165×(-2)=-330$
解析：
解：由题意，得$x - y - 165 = 0$，$x + y + 2 = 0$，即$x - y = 165$，$x + y = -2$。
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 165×(-2) = -330$
故答案为$-330$。
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 165×(-2) = -330$
故答案为$-330$。
8. 求多项式$m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n - 91$的最小值。
答案：8. $m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n - 91=(m^{2}+2mn + n^{2})+(n^{2}-6n + 9)-100=(m + n)^{2}+(n - 3)^{2}-100$。因为$(m + n)^{2}\geq0$，$(n - 3)^{2}\geq0$，所以$(m + n)^{2}+(n - 3)^{2}-100\geq - 100$，所以多项式$m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n - 91$的最小值是$-100$