8. (2024·福建改编)如图，小明用两个等腰三角形设计了一个形似“蝴蝶”的平面图案。其中，△OAB 与△ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线 PQ 对称，E，F 分别是底边 AB，CD 的中点，OE ⊥ OF。有下列结论：① OA = OC；② ∠BOC = ∠AOB；③ ∠EOP = 135°；④ OE = OF；⑤ 分别连接 AD，BC，它们的垂直平分线互相重合；⑥ △AOE 与△COF 关于直线 PQ 对称。其中，错误的有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：8. B
解析：
证明：
∵△OAB与△ODC关于PQ对称，
∴OA=OD，OB=OC，∠AOB=∠DOC，AB=CD，E、F为中点，
∴OE=OF（对称性质），④正确；
∵OE⊥OF，∠AOE=∠DOF（对称），设∠AOE=∠DOF=α，∠EOB=∠FOC=β，
则2α+2β+90°=360°→α+β=135°，∠EOP=α+β=135°，③正确；
OA与OC不一定相等，①错误；∠BOC=90°，∠AOB=α+β=135°，②错误；
AD、BC垂直平分线均为PQ，⑤正确；△AOE与△DOF对称，非△COF，⑥错误。
错误结论：①②⑥，共3个。
答案：C
∵△OAB与△ODC关于PQ对称，
∴OA=OD，OB=OC，∠AOB=∠DOC，AB=CD，E、F为中点，
∴OE=OF（对称性质），④正确；
∵OE⊥OF，∠AOE=∠DOF（对称），设∠AOE=∠DOF=α，∠EOB=∠FOC=β，
则2α+2β+90°=360°→α+β=135°，∠EOP=α+β=135°，③正确；
OA与OC不一定相等，①错误；∠BOC=90°，∠AOB=α+β=135°，②错误；
AD、BC垂直平分线均为PQ，⑤正确；△AOE与△DOF对称，非△COF，⑥错误。
错误结论：①②⑥，共3个。
答案：C
9. (2024·眉山)如图，在△ABC 中，AB = AC = 6，BC = 4，按照尺规作图痕迹作直线 EF，交 AC 于点 D，连接 BD，则△BCD 的周长为(
A.7
B.8
C.10
D.12
C
)A.7
B.8
C.10
D.12
答案：9. C
解析：
证明：由尺规作图痕迹可知，EF为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AB=AC=6，
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=4+6=10.
答案：C
∴AD=BD，
∵AB=AC=6，
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=4+6=10.
答案：C
10. 如图，在长方形 ABCD 中，连接 AC，按尺规作图痕迹作射线 AH，交 DC 于点 M。若∠ACB = 72°，则∠CAM 的度数为
36°
。答案：10. 36°
解析：
解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是长方形，
∴ $AD // BC$，$\angle B = 90°$，
∴ $\angle ACB = \angle CAD = 72°$（两直线平行，内错角相等）。
由尺规作图痕迹可知，$AH$ 平分 $\angle CAD$，
∴ $\angle CAM = \frac{1}{2}\angle CAD = \frac{1}{2} × 72° = 36°$。
$36°$
∵ 四边形 $ABCD$ 是长方形，
∴ $AD // BC$，$\angle B = 90°$，
∴ $\angle ACB = \angle CAD = 72°$（两直线平行，内错角相等）。
由尺规作图痕迹可知，$AH$ 平分 $\angle CAD$，
∴ $\angle CAM = \frac{1}{2}\angle CAD = \frac{1}{2} × 72° = 36°$。
$36°$
11. （1）如图①，△ABC 与△DEF 关于直线 l 成轴对称，只用无刻度的直尺作出直线 l；
（2）（2024·吉林改编）如图②所示为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A，B，C，D 均在格点上，只用无刻度的直尺作出四边形 ABCD 的对称轴。
（2）（2024·吉林改编）如图②所示为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A，B，C，D 均在格点上，只用无刻度的直尺作出四边形 ABCD 的对称轴。
答案：
11. (1) 如图①，直线 l 即为所求 (2) 如图②，直线 GH 与直线 EF 即为所求
11. (1) 如图①，直线 l 即为所求 (2) 如图②，直线 GH 与直线 EF 即为所求
12. 如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线 l₁交 BC 于点 D，AC 边的垂直平分线 l₂交 BC 于点 E，l₁与 l₂相交于点 O，连接 AD，AE，OA，OB，OC。若△ADE 的周长为 8 cm，△OBC 的周长为 18 cm。
（1）求线段 BC 的长；
（2）试说明：OB = OC；
（3）求线段 OA 的长。
（1）求线段 BC 的长；
（2）试说明：OB = OC；
（3）求线段 OA 的长。
答案：12. (1) 因为 l₁ 是 AB 边的垂直平分线，所以 DA = DB. 因为 l₂ 是 AC 边的垂直平分线，所以 EA = EC. 因为△ADE 的周长为 8 cm，所以 BC = BD + DE + EC = DA + DE + EA = 8 cm
(2) 因为 l₁ 是 AB 边的垂直平分线，所以 OA = OB. 因为 l₂ 是 AC 边的垂直平分线，所以 OA = OC，所以 OB = OC (3) 因为△OBC 的周长为 18 cm，所以 OB + OC + BC = 18 cm. 因为 BC = 8 cm，所以 OB = OC = 5 cm. 因为 OA = OB，所以 OA = 5 cm
(2) 因为 l₁ 是 AB 边的垂直平分线，所以 OA = OB. 因为 l₂ 是 AC 边的垂直平分线，所以 OA = OC，所以 OB = OC (3) 因为△OBC 的周长为 18 cm，所以 OB + OC + BC = 18 cm. 因为 BC = 8 cm，所以 OB = OC = 5 cm. 因为 OA = OB，所以 OA = 5 cm