1. (2025·南充)我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，…，问：物几何?”大意如下：有一些物体不知个数，每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个，…，问：这些物体共有多少个? 设 3 个一数共数了 $ x $ 次，5 个一数共数了 $ y $ 次，其中 $ x,y $ 为正整数，依题意可列方程为(
A.$ 3x + 2 = 5y + 3 $
B.$ 5x + 2 = 3y + 3 $
C.$ 3x - 2 = 5y - 3 $
D.$ 5x - 2 = 3y - 3 $
A
)A.$ 3x + 2 = 5y + 3 $
B.$ 5x + 2 = 3y + 3 $
C.$ 3x - 2 = 5y - 3 $
D.$ 5x - 2 = 3y - 3 $
答案：1.A
2. 有下列方程：① $ x + y = 1 $；② $ 2x - \frac{2}{y} = 1 $；③ $ x^2 + 2x = -1 $；④ $ 3xy = 1 $；⑤ $ x - \frac{1}{3}y = 2 $.其中，属于二元一次方程的是(
A.①⑤
B.①②
C.①④
D.①②④
A
)A.①⑤
B.①②
C.①④
D.①②④
答案：2.A
3. 已知 $ \begin{cases}x = a, \\ y = b\end{cases}$ 是二元一次方程 $ x - 5y - 3 = 0 $ 的一个解，则 $ a - 5b + 2025 $ 的值为( )
A.2022
B.2024
C.2026
D.2028
A.2022
B.2024
C.2026
D.2028
答案：3.D
解析：
因为$\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}$是方程$x - 5y - 3 = 0$的解，所以将$x = a$，$y = b$代入方程可得：$a - 5b - 3 = 0$，即$a - 5b = 3$。则$a - 5b + 2025 = 3 + 2025 = 2028$。
D
D
4. 写出一个关于 $ x,y $ 的二元一次方程，使其满足 $ x $ 的系数是大于 2 的自然数，$ y $ 的系数是小于 $ -3 $ 的整数，且 $ \begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases}$ 是它的一个解，该方程可以为 ______ .
答案：4.答案不唯一,如 3x-4y=-6
解析：
3x - 4y = -6
5. 方程 $ x + y = 5 $ 有
无数
个解，有4
个正整数解.答案：5.无数 4
6. 根据信息，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程.
(1) 甲数的 2 倍比乙数的 $ \frac{1}{3} $ 少 4.
(2) (2024·济南)近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建 A，B 两种光伏车棚，修建 5 个 A 种光伏车棚和 3 个 B 种光伏车棚共要投资 21 万元.
(1) 甲数的 2 倍比乙数的 $ \frac{1}{3} $ 少 4.
(2) (2024·济南)近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建 A，B 两种光伏车棚，修建 5 个 A 种光伏车棚和 3 个 B 种光伏车棚共要投资 21 万元.
答案：6.(1)设甲数为x,乙数为y,则$ 2x=\frac{1}{3}y-4 (2)$设修建一个A种光伏车棚要投资x万元,修建一个B种光伏车棚要投资y万元,则 5x+3y=21
7. (2025·泸州)《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如：方程 $ x + 2y = 3 $ 恰有一个正整数解 $ x = 1,y = 1 $.类似地，方程 $ 2x + 3y = 21 $ 的正整数解的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：7.C
解析：
方程$2x + 3y = 21$，变形得$x=\frac{21 - 3y}{2}$。
因为$x$，$y$为正整数，所以$21 - 3y$必须是正偶数，且$y$为正整数。
当$y = 1$时，$x=\frac{21 - 3×1}{2}=\frac{18}{2}=9$，符合题意；
当$y = 3$时，$x=\frac{21 - 3×3}{2}=\frac{12}{2}=6$，符合题意；
当$y = 5$时，$x=\frac{21 - 3×5}{2}=\frac{6}{2}=3$，符合题意；
当$y = 7$时，$x=\frac{21 - 3×7}{2}=0$，不符合正整数要求。
所以正整数解有$3$个。
C
因为$x$，$y$为正整数，所以$21 - 3y$必须是正偶数，且$y$为正整数。
当$y = 1$时，$x=\frac{21 - 3×1}{2}=\frac{18}{2}=9$，符合题意；
当$y = 3$时，$x=\frac{21 - 3×3}{2}=\frac{12}{2}=6$，符合题意；
当$y = 5$时，$x=\frac{21 - 3×5}{2}=\frac{6}{2}=3$，符合题意；
当$y = 7$时，$x=\frac{21 - 3×7}{2}=0$，不符合正整数要求。
所以正整数解有$3$个。
C