1. 若关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}3x - 4y = 8,\\mx + (2m - 1)y = 7\end{cases}$ 的解也是二元一次方程 $x + 2y = 1$ 的解，则 $m$ 的值为( )
A.$\dfrac{15}{2}$
B.$\dfrac{13}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$1$
A.$\dfrac{15}{2}$
B.$\dfrac{13}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$1$
答案：1. B
解析：
由题意得，联立方程组$\begin{cases}3x - 4y = 8 \\ x + 2y = 1\end{cases}$，
由$x + 2y = 1$得$x = 1 - 2y$，
将$x = 1 - 2y$代入$3x - 4y = 8$，得$3(1 - 2y) - 4y = 8$，
$3 - 6y - 4y = 8$，
$-10y = 5$，
$y = -\dfrac{1}{2}$，
则$x = 1 - 2×(-\dfrac{1}{2}) = 2$，
将$x = 2$，$y = -\dfrac{1}{2}$代入$mx + (2m - 1)y = 7$，
得$2m + (2m - 1)×(-\dfrac{1}{2}) = 7$，
$2m - m + \dfrac{1}{2} = 7$，
$m = 7 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{2}$。
B
由$x + 2y = 1$得$x = 1 - 2y$，
将$x = 1 - 2y$代入$3x - 4y = 8$，得$3(1 - 2y) - 4y = 8$，
$3 - 6y - 4y = 8$，
$-10y = 5$，
$y = -\dfrac{1}{2}$，
则$x = 1 - 2×(-\dfrac{1}{2}) = 2$，
将$x = 2$，$y = -\dfrac{1}{2}$代入$mx + (2m - 1)y = 7$，
得$2m + (2m - 1)×(-\dfrac{1}{2}) = 7$，
$2m - m + \dfrac{1}{2} = 7$，
$m = 7 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{2}$。
B
2. 已知关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x - y = m - 10,\\x + 2y = 3m,\end{cases}$ 其中 $m$ 是常数.
（1）用含 $m$ 的代数式表示该方程组的解；
（2）若该方程组的解满足 $x + y = 4$，求 $m$ 的值；
（3）已知 $w = xy$，求 $w$ 的最小值，并求此时 $m$ 的值.
（1）用含 $m$ 的代数式表示该方程组的解；
（2）若该方程组的解满足 $x + y = 4$，求 $m$ 的值；
（3）已知 $w = xy$，求 $w$ 的最小值，并求此时 $m$ 的值.
答案：2. (1)解方程组$\begin{cases}2x - y = m - 10①,\\x + 2y = 3m②.\end{cases}$ ①×2+②，得$5x = 5m - 20$，解得$x = m - 4$.将$x = m - 4$代入②，得$m - 4 + 2y = 3m$，解得$y = m + 2$.所以方程组的解为$\begin{cases}x = m - 4,\\y = m + 2\end{cases}$ (2) 因为该方程组的解满足$x + y = 4$，所以$m - 4 + m + 2 = 4$，解得$m = 3$
(3) 因为$x = m - 4$，$y = m + 2$，所以$w = xy = (m - 4)(m + 2) = m^2 - 2m - 8 = (m - 1)^2 - 9$. 因为$(m - 1)^2\geqslant0$，所以当$m = 1$时，$w$的最小值为$-9$
(3) 因为$x = m - 4$，$y = m + 2$，所以$w = xy = (m - 4)(m + 2) = m^2 - 2m - 8 = (m - 1)^2 - 9$. 因为$(m - 1)^2\geqslant0$，所以当$m = 1$时，$w$的最小值为$-9$
3. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}x + 3y = 1,\\x + y = a\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x - y = b,\\2x - y = -5\end{cases}$ 有相同的解，则 $a - 2b$ 的值为 ______ .
答案：3. 5
解析：
解：联立方程组$\begin{cases}x + 3y = 1 \\ 2x - y = -5\end{cases}$，
由$2x - y = -5$得$y = 2x + 5$，
将$y = 2x + 5$代入$x + 3y = 1$，得$x + 3(2x + 5) = 1$，
解得$x = -2$，
将$x = -2$代入$y = 2x + 5$，得$y = 1$，
所以相同的解为$\begin{cases}x = -2 \\ y = 1\end{cases}$，
将$\begin{cases}x = -2 \\ y = 1\end{cases}$代入$x + y = a$，得$a = -2 + 1 = -1$，
代入$x - y = b$，得$b = -2 - 1 = -3$，
则$a - 2b = -1 - 2×(-3) = 5$。
5
由$2x - y = -5$得$y = 2x + 5$，
将$y = 2x + 5$代入$x + 3y = 1$，得$x + 3(2x + 5) = 1$，
解得$x = -2$，
将$x = -2$代入$y = 2x + 5$，得$y = 1$，
所以相同的解为$\begin{cases}x = -2 \\ y = 1\end{cases}$，
将$\begin{cases}x = -2 \\ y = 1\end{cases}$代入$x + y = a$，得$a = -2 + 1 = -1$，
代入$x - y = b$，得$b = -2 - 1 = -3$，
则$a - 2b = -1 - 2×(-3) = 5$。
5
4. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + y = -2,\\ax + by = -4\end{cases}$ 和 $\begin{cases}3x - y = 12,\\bx + ay = -8\end{cases}$ 的解相同，求 $(5a + b)^2$ 的值.
答案：4. 由题意，得关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x - y = 12,\\bx + ay = - 8\end{cases}$和$\begin{cases}2x + y = - 2,\\ax + by = - 4\end{cases}$的解也是方程组$\begin{cases}ax + by = - 4,\\bx + ay = - 8\end{cases}$的解.解方程组$\begin{cases}2x + y = - 2,\\3x - y = 12\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 2,\\y = - 6.\end{cases}$把$\begin{cases}x = 2,\\y = - 6\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax + by = - 4,\\bx + ay = - 8\end{cases}$，得$\begin{cases}2a - 6b = - 4,\\2b - 6a = - 8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{7}{4},\\b = \frac{5}{4},\end{cases}$所以$(5a + b)^2 = (5×\frac{7}{4} + \frac{5}{4})^2 = 10^2 = 100$
解析：
解：因为两个方程组的解相同，所以先解方程组$\begin{cases}2x + y = -2 \\ 3x - y = 12\end{cases}$，
两式相加得：$5x = 10$，解得$x = 2$，
将$x = 2$代入$2x + y = -2$，得$4 + y = -2$，解得$y = -6$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = -6\end{cases}$，
把$\begin{cases}x = 2 \\ y = -6\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + by = -4 \\ bx + ay = -8\end{cases}$，得$\begin{cases}2a - 6b = -4 \\ 2b - 6a = -8\end{cases}$，
化简得$\begin{cases}a - 3b = -2 \\ -6a + 2b = -8\end{cases}$，
由$a - 3b = -2$得$a = 3b - 2$，
将$a = 3b - 2$代入$-6a + 2b = -8$，得$-6(3b - 2) + 2b = -8$，
即$-18b + 12 + 2b = -8$，$-16b = -20$，解得$b = \frac{5}{4}$，
将$b = \frac{5}{4}$代入$a = 3b - 2$，得$a = 3×\frac{5}{4} - 2 = \frac{15}{4} - \frac{8}{4} = \frac{7}{4}$，
所以$5a + b = 5×\frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{35}{4} + \frac{5}{4} = 10$，
则$(5a + b)^2 = 10^2 = 100$。
100
两式相加得：$5x = 10$，解得$x = 2$，
将$x = 2$代入$2x + y = -2$，得$4 + y = -2$，解得$y = -6$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = -6\end{cases}$，
把$\begin{cases}x = 2 \\ y = -6\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + by = -4 \\ bx + ay = -8\end{cases}$，得$\begin{cases}2a - 6b = -4 \\ 2b - 6a = -8\end{cases}$，
化简得$\begin{cases}a - 3b = -2 \\ -6a + 2b = -8\end{cases}$，
由$a - 3b = -2$得$a = 3b - 2$，
将$a = 3b - 2$代入$-6a + 2b = -8$，得$-6(3b - 2) + 2b = -8$，
即$-18b + 12 + 2b = -8$，$-16b = -20$，解得$b = \frac{5}{4}$，
将$b = \frac{5}{4}$代入$a = 3b - 2$，得$a = 3×\frac{5}{4} - 2 = \frac{15}{4} - \frac{8}{4} = \frac{7}{4}$，
所以$5a + b = 5×\frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{35}{4} + \frac{5}{4} = 10$，
则$(5a + b)^2 = 10^2 = 100$。
100
5. 在解方程组 $\begin{cases}2ax + y = 5,\\2x - by = 13\end{cases}$ 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 $a$，解得 $\begin{cases}x = 3.5,\\y = -2;\end{cases}$ 乙看错了方程组中的 $b$，解得 $\begin{cases}x = 3,\\y = -7.\end{cases}$ 甲把 $a$ 错看成了 ______ ，乙把 $b$ 错看成了 ______ .
答案：5. 1 1
解析：
甲看错了$a$，将$\begin{cases}x = 3.5\\y = -2\end{cases}$代入$2ax + y = 5$，得$2a×3.5 + (-2)=5$，$7a - 2 = 5$，$7a=7$，$a=1$。
乙看错了$b$，将$\begin{cases}x = 3\\y = -7\end{cases}$代入$2x - by = 13$，得$2×3 - b×(-7)=13$，$6 + 7b = 13$，$7b=7$，$b=1$。
1；1
乙看错了$b$，将$\begin{cases}x = 3\\y = -7\end{cases}$代入$2x - by = 13$，得$2×3 - b×(-7)=13$，$6 + 7b = 13$，$7b=7$，$b=1$。
1；1