甲将①中的$b$看成它的相反数，此时方程①变为$ax - by = 2$，把$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$代入得：$a×1 - b×(-1) = 2$，即$a + b = 2$。
把$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$代入②$cx - 3y = 4$得：$c×1 - 3×(-1) = 4$，解得$c = 1$。
乙抄错②中的$c$，但方程①正确，把$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$代入①$ax + by = 2$得：$2a + 4b = 2$，即$a + 2b = 1$。
联立$\begin{cases}a + b = 2\\a + 2b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\b = -1\end{cases}$。
所以$a - b + c = 3 - (-1) + 1 = 5$。
5

（1）因为甲看错了$a$，所以$\begin{cases}x = 12\\y = - 3\end{cases}$满足$5x + by = 42$，即$5×12 + b×(-3) = 42$，解得$b = 6$；乙看错了$b$，所以$\begin{cases}x = 2\\y = - 1\end{cases}$满足$ax - 4y = 10$，即$a×2 - 4×(-1) = 10$，解得$a = 3$。故$a = 3$，$b = 6$。
（2）原方程组为$\begin{cases}3x - 4y = 10\\5x + 6y = 42\end{cases}$，由$3x - 4y = 10$得$x = \dfrac{10 + 4y}{3}$，代入$5x + 6y = 42$，得$5×\dfrac{10 + 4y}{3} + 6y = 42$，解得$y = 2$，将$y = 2$代入$x = \dfrac{10 + 4y}{3}$，得$x = 6$。所以原方程组的正确解为$\begin{cases}x = 6\\y = 2\end{cases}$。

解：解方程组$\begin{cases}2x - 3y = 0 \\ ax + 3y = 12\end{cases}$，
两式相加得$(2 + a)x = 12$，则$x = \frac{12}{2 + a}$，
将$x = \frac{12}{2 + a}$代入$2x - 3y = 0$，得$y = \frac{8}{2 + a}$。
因为解为正整数，所以$2 + a$是12和8的正公因数，
12和8的正公因数为1，2，4。
当$2 + a = 1$时，$a = -1$（非负整数，舍去）；
当$2 + a = 2$时，$a = 0$，此时$x = 6$，$y = 4$（正整数，符合）；
当$2 + a = 4$时，$a = 2$，此时$x = 3$，$y = 2$（正整数，符合）。
故非负整数$a$的值为0或2。

记$\begin{cases}x + 2y = 6①,\\2x + mx - 2y = 8②,\end{cases}$
由①+②，得$3x + mx = 14$，即$x(m + 3) = 14$，解得$x = \frac{14}{m + 3}$.
由①，得$y = 3 - \frac{x}{2}$.
因为方程组有整数解，所以$x$为整数且$y$为整数，故$x$为偶数.
因此，$m + 3$是14的因数，且$\frac{14}{m + 3}$为偶数.
14的因数为$\pm1,\pm2,\pm7,\pm14$.
又$x = \frac{14}{m + 3}$为偶数，所以$m + 3 = \pm1$或$\pm7$.
当$m + 3 = 1$时，$m = -2$，$x = 14$，$y = 3 - 7 = -4$（整数解）；
当$m + 3 = -1$时，$m = -4$，$x = -14$，$y = 3 - (-7) = 10$（整数解）；
当$m + 3 = 7$时，$m = 4$，$x = 2$，$y = 3 - 1 = 2$（整数解）；
当$m + 3 = -7$时，$m = -10$，$x = -2$，$y = 3 - (-1) = 4$（整数解）.
综上，$m$的值为$-10$，$-4$，$-2$，$4$.