1. (2025·眉山)我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意如下：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问：甜果苦果各买几个？若设买甜果$x$个，苦果$y$个，根据题意可列方程组为(
A.$\{\begin{array}{l}x + y = 1000,\\ 9x + 7y = 999\end{array} $
B.$\{\begin{array}{l}x + y = 999,\\ 11x + 4y = 1000\end{array} $
C.$\{\begin{array}{l}x + y = 1000,\\ \frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999\end{array} $
D.$\{\begin{array}{l}x + y = 1000,\\ \frac{9}{11}x + \frac{7}{4}y = 999\end{array} $
C
)A.$\{\begin{array}{l}x + y = 1000,\\ 9x + 7y = 999\end{array} $
B.$\{\begin{array}{l}x + y = 999,\\ 11x + 4y = 1000\end{array} $
C.$\{\begin{array}{l}x + y = 1000,\\ \frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999\end{array} $
D.$\{\begin{array}{l}x + y = 1000,\\ \frac{9}{11}x + \frac{7}{4}y = 999\end{array} $
答案：1. C
解析：
$\{\begin{array}{l}x + y = 1000,\\ \frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999\end{array} $
2. (2025·盐城)我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分. 问：绫、绢各价若干？”大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分. 问：绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是
6
分.答案：2. 6
解析：
设每尺绫的价格为$x$分，每尺绢的价格为$y$分。
根据题意，得：
$\begin{cases}3x + 4y = 48 \\7x + 2y = 68\end{cases}$
由第二个方程$7x + 2y = 68$，得$2y = 68 - 7x$，即$y = 34 - \frac{7}{2}x$。
将$y = 34 - \frac{7}{2}x$代入第一个方程$3x + 4y = 48$：
$3x + 4(34 - \frac{7}{2}x) = 48$
$3x + 136 - 14x = 48$
$-11x = 48 - 136$
$-11x = -88$
$x = 8$
将$x = 8$代入$y = 34 - \frac{7}{2}x$：
$y = 34 - \frac{7}{2} × 8 = 34 - 28 = 6$
6
根据题意，得：
$\begin{cases}3x + 4y = 48 \\7x + 2y = 68\end{cases}$
由第二个方程$7x + 2y = 68$，得$2y = 68 - 7x$，即$y = 34 - \frac{7}{2}x$。
将$y = 34 - \frac{7}{2}x$代入第一个方程$3x + 4y = 48$：
$3x + 4(34 - \frac{7}{2}x) = 48$
$3x + 136 - 14x = 48$
$-11x = 48 - 136$
$-11x = -88$
$x = 8$
将$x = 8$代入$y = 34 - \frac{7}{2}x$：
$y = 34 - \frac{7}{2} × 8 = 34 - 28 = 6$
6
3. 某跨海大桥由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共$55\ \mathrm{km}$. 其中，桥梁长度比隧道长度的$9$倍少$4\ \mathrm{km}$，则该大桥的桥梁长度为
49.1
$\mathrm{km}$，隧道长度为5.9
$\mathrm{km}$.答案：3. 49.1 5.9 解析:设该大桥的隧道长度为$x$ km,桥梁长度为$y$ km.根据题意,得$\begin{cases}x + y = 55,\\y = 9x - 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 5.9,\\y = 49.1.\end{cases}$答:该大桥的桥梁长度为$49.1$ km,隧道长度为$5.9$ km.
解析：
设该大桥的隧道长度为$x\ \mathrm{km}$，桥梁长度为$y\ \mathrm{km}$。根据题意，得$\begin{cases}x + y = 55\\y = 9x - 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 5.9\\y = 49.1\end{cases}$。
49.1；5.9
49.1；5.9
4. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用. 已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的$2$倍少$4\ \mathrm{mg}$，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为$62\ \mathrm{mg}$.
(1) 请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2) 某森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有$50\ 000$片树叶，则这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为
(1) 请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2) 某森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有$50\ 000$片树叶，则这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为
2
$\mathrm{kg}$.答案：4. (1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为$x$ mg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为$y$ mg.根据题意,得$\begin{cases}x + y = 62,\\x = 2y - 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 40,\\y = 22.\end{cases}$答:一片银杏树叶一年的平均滞尘量为$40$ mg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为$22$ mg
(2) 2 解析:$50000 × 40 = 2000000(\mathrm{mg}) = 2(\mathrm{kg})$.
(2) 2 解析:$50000 × 40 = 2000000(\mathrm{mg}) = 2(\mathrm{kg})$.
5. 规定：形如$x + ky = b$与$kx + y = b$的两个关于$x$，$y$的方程互为“共轭二元一次方程”，其中$k \neq 1$. 由这两个方程组成的方程组$\{\begin{array}{l}x + ky = b,\\ kx + y = b\end{array} $叫作“共轭方程组”，$k$，$b$称为“共轭系数”. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\{\begin{array}{l}x + (-5m + 2)y = -n - 4,\\ (-2n + 1)x + y = -m - 5\end{array} $为“共轭方程组”，则此“共轭方程组”的解为( )
A.$\{\begin{array}{l}x = 1,\\ y = 2\end{array} $
B.$\{\begin{array}{l}x = 3,\\ y = 3\end{array} $
C.$\{\begin{array}{l}x = -3,\\ y = -6\end{array} $
D.$\{\begin{array}{l}x = 3,\\ y = -3\end{array} $
A.$\{\begin{array}{l}x = 1,\\ y = 2\end{array} $
B.$\{\begin{array}{l}x = 3,\\ y = 3\end{array} $
C.$\{\begin{array}{l}x = -3,\\ y = -6\end{array} $
D.$\{\begin{array}{l}x = 3,\\ y = -3\end{array} $
答案：5. B
解析：
因为方程组为“共轭方程组”，所以可得：
$\begin{cases}-5m + 2 = -2n + 1 \\-n - 4 = -m - 5\end{cases}$
由第二个方程得：$-n - 4 = -m - 5$，移项可得$m - n = -1$，即$m = n - 1$。
将$m = n - 1$代入第一个方程：$-5(n - 1) + 2 = -2n + 1$，
展开得：$-5n + 5 + 2 = -2n + 1$，
即$-5n + 7 = -2n + 1$，
移项得：$-5n + 2n = 1 - 7$，
合并同类项得：$-3n = -6$，解得$n = 2$。
则$m = n - 1 = 2 - 1 = 1$。
所以原方程组为：
$\begin{cases}x + (-5×1 + 2)y = -2 - 4 \\(-2×2 + 1)x + y = -1 - 5\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x - 3y = -6 \\-3x + y = -6\end{cases}$
由第一个方程得$x = 3y - 6$，代入第二个方程：$-3(3y - 6) + y = -6$，
展开得：$-9y + 18 + y = -6$，
合并同类项得：$-8y + 18 = -6$，
移项得：$-8y = -24$，解得$y = 3$。
将$y = 3$代入$x = 3y - 6$，得$x = 3×3 - 6 = 3$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 3 \end{cases}$
B
$\begin{cases}-5m + 2 = -2n + 1 \\-n - 4 = -m - 5\end{cases}$
由第二个方程得：$-n - 4 = -m - 5$，移项可得$m - n = -1$，即$m = n - 1$。
将$m = n - 1$代入第一个方程：$-5(n - 1) + 2 = -2n + 1$，
展开得：$-5n + 5 + 2 = -2n + 1$，
即$-5n + 7 = -2n + 1$，
移项得：$-5n + 2n = 1 - 7$，
合并同类项得：$-3n = -6$，解得$n = 2$。
则$m = n - 1 = 2 - 1 = 1$。
所以原方程组为：
$\begin{cases}x + (-5×1 + 2)y = -2 - 4 \\(-2×2 + 1)x + y = -1 - 5\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x - 3y = -6 \\-3x + y = -6\end{cases}$
由第一个方程得$x = 3y - 6$，代入第二个方程：$-3(3y - 6) + y = -6$，
展开得：$-9y + 18 + y = -6$，
合并同类项得：$-8y + 18 = -6$，
移项得：$-8y = -24$，解得$y = 3$。
将$y = 3$代入$x = 3y - 6$，得$x = 3×3 - 6 = 3$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 3 \end{cases}$
B