6. (2024·天津)《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题，大意如下：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问：木条长多少尺？如果设木条长$x$尺，绳子长$y$尺，那么根据题意，可列方程组为.
答案：6.$\begin{cases}x + 4.5 = y,\\x - 1 = 0.5y\end{cases}$
7. 已知派派的妈妈和派派今年的年龄之和为36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄就比派派年龄的4倍还大1岁，则当派派的妈妈40岁时，派派的年龄为
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岁.答案：7.12
解析：
设派派今年的年龄为$x$岁，则妈妈今年的年龄为$(36 - x)$岁。
再过5年，派派的年龄为$(x + 5)$岁，妈妈的年龄为$(36 - x + 5)$岁。
根据题意可得：$36 - x + 5 = 4(x + 5) + 1$
$41 - x = 4x + 20 + 1$
$41 - x = 4x + 21$
$-x - 4x = 21 - 41$
$-5x = -20$
$x = 4$
妈妈今年的年龄为$36 - 4 = 32$岁。
妈妈与派派的年龄差为$32 - 4 = 28$岁。
当妈妈40岁时，派派的年龄为$40 - 28 = 12$岁。
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再过5年，派派的年龄为$(x + 5)$岁，妈妈的年龄为$(36 - x + 5)$岁。
根据题意可得：$36 - x + 5 = 4(x + 5) + 1$
$41 - x = 4x + 20 + 1$
$41 - x = 4x + 21$
$-x - 4x = 21 - 41$
$-5x = -20$
$x = 4$
妈妈今年的年龄为$36 - 4 = 32$岁。
妈妈与派派的年龄差为$32 - 4 = 28$岁。
当妈妈40岁时，派派的年龄为$40 - 28 = 12$岁。
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8. 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和笔记本，这种笔芯每盒10支，整盒买比单支买每支可优惠0.5元.小贤买了3支笔芯、2本笔记本共花费19元；小艺买了7支笔芯、1本笔记本共花费26元.
（1）求笔记本的单价和单独购买1支笔芯的价格.
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元，那么他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品？请通过计算说明.
（1）求笔记本的单价和单独购买1支笔芯的价格.
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元，那么他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品？请通过计算说明.
答案：8.(1)设笔记本的单价为x元，单独购买1支笔芯的价格为y元.依题意，得$\begin{cases}2x + 3y = 19,\\x + 7y = 26,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 5,\\y = 3.\end{cases}$答:笔记本的单价为5元，单独购买1支笔芯的价格为3元 (2)小贤和小艺带的总钱数为19 + 2 + 26 = 47(元)，两人合在一起购买文具所需费用为5×(2 + 1) + (3 - 0.5)×10 = 40(元).因为47 - 40 = 7(元)，3×2 = 6(元)，且7 ＞ 6，所以他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品
9. 为了打造区域中心城市，实现跨越式发展，某市新区建设正按投资计划有序推进.新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540立方米，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机分别需要几台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机分别需要几台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
答案：9.(1)设甲、乙两种型号的挖掘机分别需要x台、y台.依题意，得$\begin{cases}x + y = 8,\\60x + 80y = 540,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 5,\\y = 3.\end{cases}$答:甲、乙两种型号的挖掘机分别需要5台、3台 (2)设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机.依题意，得60m + 80n = 540，所以m = 9 - \frac{4}{3}n.因为m,n均为整数，所以方程的解为$\begin{cases}m = 9,\ = 0,\end{cases}$$\begin{cases}m = 5,\ = 3,\end{cases}$$\begin{cases}m = 1,\ = 6.\end{cases}$当m = 9,n = 0时，支付租金:100×9 + 120×0 = 900(元)，900 ＞ 850，超出限额；当m = 5,n = 3时，支付租金:100×5 + 120×3 = 860(元)，860 ＞ 850，超出限额；当m = 1,n = 6时，支付租金:100×1 + 120×6 = 820(元)，820 ＜ 850，符合要求.答:有一种租用方案，即租用1台甲型挖掘机和6台乙型挖掘机