6. 解不等式$\frac{1 + 4x}{3} ＞ x - 1$，下列在数轴上表示的解集正确的是(
D
)答案：6.D
解析：
解：$\frac{1 + 4x}{3} ＞ x - 1$
两边同乘3：$1 + 4x ＞ 3(x - 1)$
去括号：$1 + 4x ＞ 3x - 3$
移项：$4x - 3x ＞ -3 - 1$
合并同类项：$x ＞ -4$
解集在数轴上表示为：D
两边同乘3：$1 + 4x ＞ 3(x - 1)$
去括号：$1 + 4x ＞ 3x - 3$
移项：$4x - 3x ＞ -3 - 1$
合并同类项：$x ＞ -4$
解集在数轴上表示为：D
7. 不等式$\frac{x + 1}{3} ＞ \frac{2x + 1}{2} - 1$的自然数解的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：7.B
解析：
解：去分母，得$2(x + 1)＞3(2x + 1)-6$，
去括号，得$2x + 2＞6x + 3 - 6$，
移项，得$2x - 6x＞3 - 6 - 2$，
合并同类项，得$-4x＞-5$，
系数化为1，得$x＜\frac{5}{4}$，
则不等式的自然数解为0，1，共2个。
B
去括号，得$2x + 2＞6x + 3 - 6$，
移项，得$2x - 6x＞3 - 6 - 2$，
合并同类项，得$-4x＞-5$，
系数化为1，得$x＜\frac{5}{4}$，
则不等式的自然数解为0，1，共2个。
B
8. 若添一个负整数$m$，使$-9$，$5$与$m$这三个数的平均数小于$m$，则$m$的值为
$-1$
.答案：8.$-1$ 解析：根据题意，得$\frac{-9 + 5 + m}{3}＜m$，解得$m＞-2$.因为$m$是负整数，所以$m=-1$.
解析：
根据题意，得$\frac{-9 + 5 + m}{3} ＜ m$，
去分母，得$-9 + 5 + m ＜ 3m$，
移项、合并同类项，得$-2m ＜ 4$，
系数化为$1$，得$m ＞ -2$，
因为$m$是负整数，所以$m = -1$。
$-1$
去分母，得$-9 + 5 + m ＜ 3m$，
移项、合并同类项，得$-2m ＜ 4$，
系数化为$1$，得$m ＞ -2$，
因为$m$是负整数，所以$m = -1$。
$-1$
9. 已知关于$x$的不等式$\frac{1}{3}x - a \leq 0$有且只有三个非负整数解，则$a$的取值范围是
$\frac{2}{3}\leq a＜1$
.答案：9.$\frac{2}{3}\leq a＜1$
解析：
解：解不等式$\frac{1}{3}x - a \leq 0$，得$x \leq 3a$。
因为不等式有且只有三个非负整数解，所以非负整数解为$0$，$1$，$2$。
则$2 \leq 3a ＜ 3$，解得$\frac{2}{3} \leq a ＜ 1$。
$\frac{2}{3}\leq a＜1$
因为不等式有且只有三个非负整数解，所以非负整数解为$0$，$1$，$2$。
则$2 \leq 3a ＜ 3$，解得$\frac{2}{3} \leq a ＜ 1$。
$\frac{2}{3}\leq a＜1$
10. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）$2x - 1 ＞ \frac{3x - 1}{2}$；
（2）（2024·眉山）$\frac{x + 1}{3} - 1 \leq \frac{2 - x}{2}$；
（3）$1 - \frac{4x + 22}{9} \leq \frac{2x - 1}{3}$；
（4）$\frac{x}{2} - \frac{5x + 11}{6} ＞ \frac{2x - 4}{3} - 1$.
（1）$2x - 1 ＞ \frac{3x - 1}{2}$；
（2）（2024·眉山）$\frac{x + 1}{3} - 1 \leq \frac{2 - x}{2}$；
（3）$1 - \frac{4x + 22}{9} \leq \frac{2x - 1}{3}$；
（4）$\frac{x}{2} - \frac{5x + 11}{6} ＞ \frac{2x - 4}{3} - 1$.
答案：
（1）解不等式$2x - 1 ＞ \frac{3x - 1}{2}$
解：
去分母，两边同时乘以$2$得：$2(2x - 1)＞3x - 1$。
去括号：$4x - 2＞3x - 1$。
移项：$4x - 3x＞-1 + 2$。
合并同类项：$x＞1$。
（2）解不等式$\frac{x + 1}{3} - 1 \leq \frac{2 - x}{2}$
解：
去分母，两边同时乘以$6$得：$2(x + 1) - 6\leq3(2 - x)$。
去括号：$2x + 2 - 6\leq6 - 3x$。
移项：$2x + 3x\leq6 + 6 - 2$。
合并同类项：$5x\leq10$。
系数化为$1$：$x\leq2$。
（3）解不等式$1 - \frac{4x + 22}{9} \leq \frac{2x - 1}{3}$
解：
去分母，两边同时乘以$9$得：$9 - (4x + 22)\leq3(2x - 1)$。
去括号：$9 - 4x - 22\leq6x - 3$。
移项：$-4x - 6x\leq-3 - 9 + 22$。
合并同类项：$-10x\leq10$。
系数化为$1$：$x\geq - 1$。
（4）解不等式$\frac{x}{2} - \frac{5x + 11}{6} ＞ \frac{2x - 4}{3} - 1$
解：
去分母，两边同时乘以$6$得：$3x - (5x + 11)＞2(2x - 4) - 6$。
去括号：$3x - 5x - 11＞4x - 8 - 6$。
移项：$3x - 5x - 4x＞-8 - 6 + 11$。
合并同类项：$-6x＞-3$。
系数化为$1$：$x＜\frac{1}{2}$。
（1）解不等式$2x - 1 ＞ \frac{3x - 1}{2}$
解：
去分母，两边同时乘以$2$得：$2(2x - 1)＞3x - 1$。
去括号：$4x - 2＞3x - 1$。
移项：$4x - 3x＞-1 + 2$。
合并同类项：$x＞1$。
（2）解不等式$\frac{x + 1}{3} - 1 \leq \frac{2 - x}{2}$
解：
去分母，两边同时乘以$6$得：$2(x + 1) - 6\leq3(2 - x)$。
去括号：$2x + 2 - 6\leq6 - 3x$。
移项：$2x + 3x\leq6 + 6 - 2$。
合并同类项：$5x\leq10$。
系数化为$1$：$x\leq2$。
（3）解不等式$1 - \frac{4x + 22}{9} \leq \frac{2x - 1}{3}$
解：
去分母，两边同时乘以$9$得：$9 - (4x + 22)\leq3(2x - 1)$。
去括号：$9 - 4x - 22\leq6x - 3$。
移项：$-4x - 6x\leq-3 - 9 + 22$。
合并同类项：$-10x\leq10$。
系数化为$1$：$x\geq - 1$。
（4）解不等式$\frac{x}{2} - \frac{5x + 11}{6} ＞ \frac{2x - 4}{3} - 1$
解：
去分母，两边同时乘以$6$得：$3x - (5x + 11)＞2(2x - 4) - 6$。
去括号：$3x - 5x - 11＞4x - 8 - 6$。
移项：$3x - 5x - 4x＞-8 - 6 + 11$。
合并同类项：$-6x＞-3$。
系数化为$1$：$x＜\frac{1}{2}$。
11. （2024·呼和浩特）
（1）解不等式：$\frac{2x - 1}{3} - 1 ＞ \frac{x}{2}$；
（2）上述不等式的任意一个解都比关于$x$的不等式$2x - 1 \leq x + m$的解大，求$m$的取值范围.
（1）解不等式：$\frac{2x - 1}{3} - 1 ＞ \frac{x}{2}$；
（2）上述不等式的任意一个解都比关于$x$的不等式$2x - 1 \leq x + m$的解大，求$m$的取值范围.
答案：11.(1)去分母，得$2(2x - 1)-6＞3x$，去括号，得$4x - 2 - 6＞3x$，移项、合并同类项，得$x＞8$ (2)由$2x - 1\leq x + m$，得$x\leq m + 1$.根据题意，得$m + 1\leq8$，解得$m\leq7$，所以$m$的取值范围是$m\leq7$
12. 当$k ＜ 6$时，方程$3(x - 1) = k$的解是不等式$4x - 1 ＜ x + 2m$的解，求$m$的最小整数值.
答案：由方程$3(x - 1) = k$，得$x = \frac{k}{3} + 1$。
由不等式$4x - 1 \lt x + 2m$，得$3x \lt 2m + 1$，即$x \lt \frac{2m + 1}{3}$。
因为当$k \lt 6$时，方程$3(x - 1) = k$的解是不等式$4x - 1 \lt x + 2m$的解，
而当$k \lt 6$时，$x=\frac{k}{3}+1\lt\frac{6}{3}+1 = 3$，
所以$\frac{k}{3}+1\lt\frac{2m + 1}{3}$在$k \lt 6$时恒成立时，$3\leqslant\frac{2m + 1}{3}$，
$9\leqslant2m + 1$，
$2m\geqslant8$，
$m\geqslant4$。
所以$m$的最小整数值是$4$。
由不等式$4x - 1 \lt x + 2m$，得$3x \lt 2m + 1$，即$x \lt \frac{2m + 1}{3}$。
因为当$k \lt 6$时，方程$3(x - 1) = k$的解是不等式$4x - 1 \lt x + 2m$的解，
而当$k \lt 6$时，$x=\frac{k}{3}+1\lt\frac{6}{3}+1 = 3$，
所以$\frac{k}{3}+1\lt\frac{2m + 1}{3}$在$k \lt 6$时恒成立时，$3\leqslant\frac{2m + 1}{3}$，
$9\leqslant2m + 1$，
$2m\geqslant8$，
$m\geqslant4$。
所以$m$的最小整数值是$4$。