1. (2024·浙江)不等式组$\begin{cases}2x - 1 \geqslant 1,\\3(2 - x) ＞ - 6\end{cases}$的解集在数轴上表示为( )
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答案：1.A
解析：
解：解不等式$2x - 1 \geqslant 1$，得$2x \geqslant 2$，$x \geqslant 1$；
解不等式$3(2 - x) ＞ - 6$，得$6 - 3x ＞ - 6$，$-3x ＞ - 12$，$x ＜ 4$；
所以不等式组的解集为$1 \leqslant x ＜ 4$，在数轴上表示为选项A。
A
解不等式$3(2 - x) ＞ - 6$，得$6 - 3x ＞ - 6$，$-3x ＞ - 12$，$x ＜ 4$；
所以不等式组的解集为$1 \leqslant x ＜ 4$，在数轴上表示为选项A。
A
2. 不等式组$\begin{cases}3(x + 1) ＞ x - 1,\\\dfrac{x + 7}{2} \geqslant 2x - 1\end{cases}$的非负整数解的个数是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：2.B
解析：
解不等式组：
1. 解不等式 $3(x + 1) ＞ x - 1$：
$ 3x + 3 ＞ x - 1 \implies 2x ＞ -4 \implies x ＞ -2 $
2. 解不等式 $\dfrac{x + 7}{2} \geqslant 2x - 1$：
$ x + 7 \geqslant 4x - 2 \implies -3x \geqslant -9 \implies x \leqslant 3 $
不等式组的解集为 $-2 ＜ x \leqslant 3$，非负整数解为 $0, 1, 2, 3$，共4个。
B
1. 解不等式 $3(x + 1) ＞ x - 1$：
$ 3x + 3 ＞ x - 1 \implies 2x ＞ -4 \implies x ＞ -2 $
2. 解不等式 $\dfrac{x + 7}{2} \geqslant 2x - 1$：
$ x + 7 \geqslant 4x - 2 \implies -3x \geqslant -9 \implies x \leqslant 3 $
不等式组的解集为 $-2 ＜ x \leqslant 3$，非负整数解为 $0, 1, 2, 3$，共4个。
B
3. 对于不等式组$\begin{cases}\dfrac{1}{3}x - 6 \leqslant 1 - \dfrac{5}{3}x,\\3(x - 1) ＜ 5x - 1,\end{cases}$下列说法正确的是( )
A.此不等式组的正整数解为$x = 1,2,3$
B.此不等式组的解集为$- 1 ＜ x \leqslant \dfrac{7}{6}$
C.此不等式组有5个整数解
D.此不等式组无解
A.此不等式组的正整数解为$x = 1,2,3$
B.此不等式组的解集为$- 1 ＜ x \leqslant \dfrac{7}{6}$
C.此不等式组有5个整数解
D.此不等式组无解
答案：3.A
解析：
解不等式组：
1. 解不等式 $\dfrac{1}{3}x - 6 \leqslant 1 - \dfrac{5}{3}x$
$ \begin{aligned} \dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}x &\leqslant 1 + 6 \\ 2x &\leqslant 7 \\ x &\leqslant \dfrac{7}{2} \end{aligned} $
2. 解不等式 $3(x - 1) ＜ 5x - 1$
$ \begin{aligned} 3x - 3 &＜ 5x - 1 \\ -3 + 1 &＜ 5x - 3x \\ -2 &＜ 2x \\ x &＞ -1 \end{aligned} $
不等式组的解集为 $-1 ＜ x \leqslant \dfrac{7}{2}$
正整数解为 $x = 1, 2, 3$
答案：A
1. 解不等式 $\dfrac{1}{3}x - 6 \leqslant 1 - \dfrac{5}{3}x$
$ \begin{aligned} \dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}x &\leqslant 1 + 6 \\ 2x &\leqslant 7 \\ x &\leqslant \dfrac{7}{2} \end{aligned} $
2. 解不等式 $3(x - 1) ＜ 5x - 1$
$ \begin{aligned} 3x - 3 &＜ 5x - 1 \\ -3 + 1 &＜ 5x - 3x \\ -2 &＜ 2x \\ x &＞ -1 \end{aligned} $
不等式组的解集为 $-1 ＜ x \leqslant \dfrac{7}{2}$
正整数解为 $x = 1, 2, 3$
答案：A
4. (2025·深圳)解一元一次不等式组：$\begin{cases}2x \geqslant x - 1①,\\\dfrac{1}{2}(x + 2) ＜ 3②.\end{cases}$
解：由不等式①，得
由不等式②，得
在如图所示的数轴上表示不等式①②的解集：
所以原不等式组的解集为
解：由不等式①，得
x ≥ -1
.由不等式②，得
x＜4
.在如图所示的数轴上表示不等式①②的解集：
所以原不等式组的解集为
-1 ≤ x＜4
.答案：
4.x ≥ -1 x＜4 如图所示 -1 ≤ x＜4
4.x ≥ -1 x＜4 如图所示 -1 ≤ x＜4
5. 解不等式组：
(1) (2025·甘肃)$\begin{cases}2x + 3 \geqslant - 5,\\x - 2 ＜ \dfrac{x + 4}{3};\end{cases}$
(2) (2025·成都)$\begin{cases}5x - 1 ＞ 3(x + 1),\\\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x}{2} \leqslant 1.\end{cases}$
(1) (2025·甘肃)$\begin{cases}2x + 3 \geqslant - 5,\\x - 2 ＜ \dfrac{x + 4}{3};\end{cases}$
(2) (2025·成都)$\begin{cases}5x - 1 ＞ 3(x + 1),\\\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x}{2} \leqslant 1.\end{cases}$
答案：5.(1) -4 ≤ x＜5 (2) 2＜x ≤ 8
解析：
(1)解不等式组：
$\begin{cases}2x + 3 \geqslant -5 \\x - 2 ＜ \dfrac{x + 4}{3}\end{cases}$
解第一个不等式：
$2x + 3 \geqslant -5$
$2x \geqslant -5 - 3$
$2x \geqslant -8$
$x \geqslant -4$
解第二个不等式：
$x - 2 ＜ \dfrac{x + 4}{3}$
$3(x - 2) ＜ x + 4$
$3x - 6 ＜ x + 4$
$3x - x ＜ 4 + 6$
$2x ＜ 10$
$x ＜ 5$
所以不等式组的解集为$-4 \leqslant x ＜ 5$
(2)解不等式组：
$\begin{cases}5x - 1 ＞ 3(x + 1) \\\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x}{2} \leqslant 1\end{cases}$
解第一个不等式：
$5x - 1 ＞ 3(x + 1)$
$5x - 1 ＞ 3x + 3$
$5x - 3x ＞ 3 + 1$
$2x ＞ 4$
$x ＞ 2$
解第二个不等式：
$\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x}{2} \leqslant 1$
$6×(\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x}{2}) \leqslant 6×1$
$2(2x - 1) - 3x \leqslant 6$
$4x - 2 - 3x \leqslant 6$
$x - 2 \leqslant 6$
$x \leqslant 8$
所以不等式组的解集为$2 ＜ x \leqslant 8$
$\begin{cases}2x + 3 \geqslant -5 \\x - 2 ＜ \dfrac{x + 4}{3}\end{cases}$
解第一个不等式：
$2x + 3 \geqslant -5$
$2x \geqslant -5 - 3$
$2x \geqslant -8$
$x \geqslant -4$
解第二个不等式：
$x - 2 ＜ \dfrac{x + 4}{3}$
$3(x - 2) ＜ x + 4$
$3x - 6 ＜ x + 4$
$3x - x ＜ 4 + 6$
$2x ＜ 10$
$x ＜ 5$
所以不等式组的解集为$-4 \leqslant x ＜ 5$
(2)解不等式组：
$\begin{cases}5x - 1 ＞ 3(x + 1) \\\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x}{2} \leqslant 1\end{cases}$
解第一个不等式：
$5x - 1 ＞ 3(x + 1)$
$5x - 1 ＞ 3x + 3$
$5x - 3x ＞ 3 + 1$
$2x ＞ 4$
$x ＞ 2$
解第二个不等式：
$\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x}{2} \leqslant 1$
$6×(\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x}{2}) \leqslant 6×1$
$2(2x - 1) - 3x \leqslant 6$
$4x - 2 - 3x \leqslant 6$
$x - 2 \leqslant 6$
$x \leqslant 8$
所以不等式组的解集为$2 ＜ x \leqslant 8$
6. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}- 2x - 3 \geqslant 1,\\\dfrac{x}{4} - 1 \geqslant \dfrac{a - 1}{2}\end{cases}$无解，则$a$的取值范围是( )
A.$a \geqslant - \dfrac{5}{2}$
B.$a \geqslant - 2$
C.$a ＞ - \dfrac{5}{2}$
D.$a ＞ - 2$
A.$a \geqslant - \dfrac{5}{2}$
B.$a \geqslant - 2$
C.$a ＞ - \dfrac{5}{2}$
D.$a ＞ - 2$
答案：6.D
解析：
解不等式$-2x - 3 \geqslant 1$：
$-2x \geqslant 4$
$x \leqslant -2$
解不等式$\dfrac{x}{4} - 1 \geqslant \dfrac{a - 1}{2}$：
$\dfrac{x}{4} \geqslant \dfrac{a - 1}{2} + 1$
$\dfrac{x}{4} \geqslant \dfrac{a - 1 + 2}{2}$
$\dfrac{x}{4} \geqslant \dfrac{a + 1}{2}$
$x \geqslant 2(a + 1)$
因为不等式组无解，所以$2(a + 1) ＞ -2$
$a + 1 ＞ -1$
$a ＞ -2$
D
$-2x \geqslant 4$
$x \leqslant -2$
解不等式$\dfrac{x}{4} - 1 \geqslant \dfrac{a - 1}{2}$：
$\dfrac{x}{4} \geqslant \dfrac{a - 1}{2} + 1$
$\dfrac{x}{4} \geqslant \dfrac{a - 1 + 2}{2}$
$\dfrac{x}{4} \geqslant \dfrac{a + 1}{2}$
$x \geqslant 2(a + 1)$
因为不等式组无解，所以$2(a + 1) ＞ -2$
$a + 1 ＞ -1$
$a ＞ -2$
D