12. (2024·南充)若关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}2x - 1 ＜ 5, \\ x ＜ m + 1\end{cases}$ 的解集为 $x ＜ 3$，则 $m$ 的取值范围是 ______ 。
答案：$12.m\geqslant2$
解析：
解不等式$2x - 1 ＜ 5$，得$2x ＜ 6$，$x ＜ 3$。
因为不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＜ 5 \\ x ＜ m + 1\end{cases}$的解集为$x ＜ 3$，所以$m + 1 \geqslant 3$，解得$m \geqslant 2$。
$m\geqslant2$
因为不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＜ 5 \\ x ＜ m + 1\end{cases}$的解集为$x ＜ 3$，所以$m + 1 \geqslant 3$，解得$m \geqslant 2$。
$m\geqslant2$
13. 已知关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x + 3y = 5a, \\ x + 4y = 2a + 3\end{cases}$ 的解满足 $x ＞ y$，则 $a$ 的取值范围是 ______ 。
答案：13.a＞1 解析：记$\begin{cases}2x+3y=5a①,\\x+4y=2a+3②.\end{cases}$
由①-②，得x-y=
3a-3.因为x＞y，所以x-y＞0，所以3a-3＞0，解得a＞1.
由①-②，得x-y=
3a-3.因为x＞y，所以x-y＞0，所以3a-3＞0，解得a＞1.
$14. $若不等式$ \frac{2x + 5}{3} - 2 \leqslant 1 - x $的解集中$ x $的每一个值都能使关于$ x $的不等式$ 3(x - 1) + 5 ＞ 5x + 2(m + x) $成立，则$ m $的取值范围是$ $
$m＜-\frac{3}{5}$
。 答案：$14.m＜-\frac{3}{5} $解析：解不等式$\frac{2x+5}{3}-2\leqslant1-x，$得$x\leqslant\frac{4}{5}；$解
关于$x$的不等式$3(x-1)+5＞5x+2(m+x)，$得$x＜\frac{1-m}{2}.$根
据题意，得$\frac{1-m}{2}＞\frac{4}{5}，$解得$m＜-\frac{3}{5}.$
关于$x$的不等式$3(x-1)+5＞5x+2(m+x)，$得$x＜\frac{1-m}{2}.$根
据题意，得$\frac{1-m}{2}＞\frac{4}{5}，$解得$m＜-\frac{3}{5}.$
15. 解下列不等式(组)：
(1) $\begin{cases}2x ＞ x + 1, \\ 4x - 1 ＞ 7;\end{cases}$
(2) $\frac{x + 1}{3} - 1 ＜ \frac{x - 1}{4}$；
(3) $1 - \frac{7x - 1}{8} \geqslant \frac{3x - 2}{4}$；
(4) (2024·成都)$\begin{cases}2x + 3 \geqslant -1, \\ \frac{x - 1}{2} - 1 ＜ \frac{x}{3}.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x ＞ x + 1, \\ 4x - 1 ＞ 7;\end{cases}$
(2) $\frac{x + 1}{3} - 1 ＜ \frac{x - 1}{4}$；
(3) $1 - \frac{7x - 1}{8} \geqslant \frac{3x - 2}{4}$；
(4) (2024·成都)$\begin{cases}2x + 3 \geqslant -1, \\ \frac{x - 1}{2} - 1 ＜ \frac{x}{3}.\end{cases}$
答案：(1)解不等式组：
$\begin{cases}2x ＞ x + 1 \\4x - 1 ＞ 7\end{cases}$
解第一个不等式：$2x ＞ x + 1$，移项得$2x - x ＞ 1$，即$x ＞ 1$。
解第二个不等式：$4x - 1 ＞ 7$，移项得$4x ＞ 7 + 1$，即$4x ＞ 8$，两边同时除以$4$得$x ＞ 2$。
所以不等式组的解集为$x ＞ 2$。
(2)解不等式：$\frac{x + 1}{3} - 1 ＜ \frac{x - 1}{4}$
去分母，两边同时乘以$12$得：$4(x + 1) - 12 ＜ 3(x - 1)$
去括号得：$4x + 4 - 12 ＜ 3x - 3$
移项得：$4x - 3x ＜ -3 - 4 + 12$
合并同类项得：$x ＜ 5$
(3)解不等式：$1 - \frac{7x - 1}{8} \geq \frac{3x - 2}{4}$
去分母，两边同时乘以$8$得：$8 - (7x - 1) \geq 2(3x - 2)$
去括号得：$8 - 7x + 1 \geq 6x - 4$
移项得：$-7x - 6x \geq -4 - 8 - 1$
合并同类项得：$-13x \geq -13$
两边同时除以$-13$，不等号方向改变得：$x \leq 1$
(4)解不等式组：
$\begin{cases}2x + 3 \geq -1\\ \frac{x - 1}{2} - 1 ＜ \frac{x}{3}\end{cases}$
解第一个不等式：$2x + 3 \geq -1$，移项得$2x \geq -1 - 3$，即$2x \geq -4$，两边同时除以$2$得$x \geq -2$。
解第二个不等式：$\frac{x - 1}{2} - 1 ＜ \frac{x}{3}$
去分母，两边同时乘以$6$得：$3(x - 1) - 6 ＜ 2x$
去括号得：$3x - 3 - 6 ＜ 2x$
移项得：$3x - 2x ＜ 3 + 6$
合并同类项得：$x ＜ 9$
所以不等式组的解集为$-2 \leq x ＜ 9$。
$\begin{cases}2x ＞ x + 1 \\4x - 1 ＞ 7\end{cases}$
解第一个不等式：$2x ＞ x + 1$，移项得$2x - x ＞ 1$，即$x ＞ 1$。
解第二个不等式：$4x - 1 ＞ 7$，移项得$4x ＞ 7 + 1$，即$4x ＞ 8$，两边同时除以$4$得$x ＞ 2$。
所以不等式组的解集为$x ＞ 2$。
(2)解不等式：$\frac{x + 1}{3} - 1 ＜ \frac{x - 1}{4}$
去分母，两边同时乘以$12$得：$4(x + 1) - 12 ＜ 3(x - 1)$
去括号得：$4x + 4 - 12 ＜ 3x - 3$
移项得：$4x - 3x ＜ -3 - 4 + 12$
合并同类项得：$x ＜ 5$
(3)解不等式：$1 - \frac{7x - 1}{8} \geq \frac{3x - 2}{4}$
去分母，两边同时乘以$8$得：$8 - (7x - 1) \geq 2(3x - 2)$
去括号得：$8 - 7x + 1 \geq 6x - 4$
移项得：$-7x - 6x \geq -4 - 8 - 1$
合并同类项得：$-13x \geq -13$
两边同时除以$-13$，不等号方向改变得：$x \leq 1$
(4)解不等式组：
$\begin{cases}2x + 3 \geq -1\\ \frac{x - 1}{2} - 1 ＜ \frac{x}{3}\end{cases}$
解第一个不等式：$2x + 3 \geq -1$，移项得$2x \geq -1 - 3$，即$2x \geq -4$，两边同时除以$2$得$x \geq -2$。
解第二个不等式：$\frac{x - 1}{2} - 1 ＜ \frac{x}{3}$
去分母，两边同时乘以$6$得：$3(x - 1) - 6 ＜ 2x$
去括号得：$3x - 3 - 6 ＜ 2x$
移项得：$3x - 2x ＜ 3 + 6$
合并同类项得：$x ＜ 9$
所以不等式组的解集为$-2 \leq x ＜ 9$。
16. (1) 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{x + m}{3} - \frac{2x - 1}{2} = m$ 的解是非正数，求 $m$ 的取值范围；
(2) (2025·重庆)求不等式组 $\begin{cases}2x - 2 ＜ x①, \\ \frac{x - 1}{2} \leqslant \frac{2x - 1}{3}②\end{cases}$ 的所有整数解。
(2) (2025·重庆)求不等式组 $\begin{cases}2x - 2 ＜ x①, \\ \frac{x - 1}{2} \leqslant \frac{2x - 1}{3}②\end{cases}$ 的所有整数解。
答案：16.(1)原方程可化为-4x+2m+3=6m，即$x=\frac{4m-3}{-4}.$因
为该方程的解是非正数，所以$\frac{4m-3}{-4}\leqslant0，$解得$m\geqslant\frac{3}{4} (2)$解不
等式①，得x＜2，解不等式②，得$x\geqslant-1，$所以原不等式组的解
集为$-1 \leqslant x＜2，$所以不等式组的所有整数解为x=-1,0,1
为该方程的解是非正数，所以$\frac{4m-3}{-4}\leqslant0，$解得$m\geqslant\frac{3}{4} (2)$解不
等式①，得x＜2，解不等式②，得$x\geqslant-1，$所以原不等式组的解
集为$-1 \leqslant x＜2，$所以不等式组的所有整数解为x=-1,0,1
17. 已知二元一次方程组 $\begin{cases}x + y = m + 2, \\ 4x + 5y = 6m + 3\end{cases}$ 的解 $x$，$y$ 都是正数。
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 在(1)的条件下，当 $m$ 为何整数时，不等式 $(4 - m)x ＜ 2(m - 4)$ 的解集为 $x ＞ -2$？
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 在(1)的条件下，当 $m$ 为何整数时，不等式 $(4 - m)x ＜ 2(m - 4)$ 的解集为 $x ＞ -2$？
答案：17.(1)解方程组，得$\begin{cases}x=7-m,\\y=2m-5.\end{cases} $因为x,y都是正数，所以
$\begin{cases}7-m＞0,\\2m-5＞0,\end{cases}$
解得2.5＜m＜7，所以m的取值范围是2.5＜m＜7
(2)因为不等式(4-m)x＜2(m-4)的解集为x＞-2，所以4-
m＜0，解得m＞4.结合(1)中的2.5＜m＜7，得4＜m＜7，所以
满足条件的整数m=5或6
$\begin{cases}7-m＞0,\\2m-5＞0,\end{cases}$
解得2.5＜m＜7，所以m的取值范围是2.5＜m＜7
(2)因为不等式(4-m)x＜2(m-4)的解集为x＞-2，所以4-
m＜0，解得m＞4.结合(1)中的2.5＜m＜7，得4＜m＜7，所以
满足条件的整数m=5或6