24. (8 分)如图，四边形 $ ABCD $ 是正方形，点 $ E $ 在边 $ DC $ 上，将 $ \triangle ADE $ 顺时针旋转后与 $ \triangle ABF $ 重合，再将 $ \triangle ABF $ 向右平移后与 $ \triangle DCH $ 重合.
(1)旋转中心为
(2)如果连接 $ EF $，那么 $ \triangle AEF $ 是怎样的三角形？请说明理由.
(3)试猜想线段 $ AE $ 和 $ DH $ 之间的数量关系和位置关系，并说明理由.
(1)旋转中心为
点A
，旋转的角度为90
$ ^{\circ} $.(2)如果连接 $ EF $，那么 $ \triangle AEF $ 是怎样的三角形？请说明理由.
(3)试猜想线段 $ AE $ 和 $ DH $ 之间的数量关系和位置关系，并说明理由.
答案：24.(1)点$A$ $90$ (2)$\triangle AEF$是等腰直角三角形 理由：根据题意及(1)，得$\triangle ADE$绕点$A$顺时针旋转后与$\triangle ABF$重合，所以$AF = AE$，$\angle FAE = \angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\triangle AEF$是等腰直角三角形. (3)$AE = DH$，$AE⊥ DH$ 理由：因为$\triangle ABF$向右平移后与$\triangle DCH$重合，所以$AF = DH$，$AF// DH$，所以$\angle FAE = \angle HGE$.由(2)，得$\angle FAE = 90^{\circ}$，$AF = AE$，所以$\angle HGE = 90^{\circ}$，$AE = DH$，所以$AE⊥ DH$.
解析：
(1)点$A$；$90$
(2)$\triangle AEF$是等腰直角三角形。理由：由旋转性质得$\triangle ADE≌\triangle ABF$，故$AF=AE$，$\angle FAB=\angle EAD$。因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle BAD=90^{\circ}$，即$\angle BAE+\angle EAD=90^{\circ}$，则$\angle BAE+\angle FAB=90^{\circ}$，即$\angle FAE=90^{\circ}$，因此$\triangle AEF$是等腰直角三角形。
(3)$AE=DH$且$AE⊥ DH$。理由：由平移性质得$\triangle ABF≌\triangle DCH$，故$AF=DH$，$AF// DH$。由(2)知$AF=AE$，$\angle FAE=90^{\circ}$，所以$AE=DH$。设$AE$与$DH$交于点$G$，因为$AF// DH$，所以$\angle AGE=\angle FAE=90^{\circ}$，即$AE⊥ DH$。
(2)$\triangle AEF$是等腰直角三角形。理由：由旋转性质得$\triangle ADE≌\triangle ABF$，故$AF=AE$，$\angle FAB=\angle EAD$。因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle BAD=90^{\circ}$，即$\angle BAE+\angle EAD=90^{\circ}$，则$\angle BAE+\angle FAB=90^{\circ}$，即$\angle FAE=90^{\circ}$，因此$\triangle AEF$是等腰直角三角形。
(3)$AE=DH$且$AE⊥ DH$。理由：由平移性质得$\triangle ABF≌\triangle DCH$，故$AF=DH$，$AF// DH$。由(2)知$AF=AE$，$\angle FAE=90^{\circ}$，所以$AE=DH$。设$AE$与$DH$交于点$G$，因为$AF// DH$，所以$\angle AGE=\angle FAE=90^{\circ}$，即$AE⊥ DH$。