20. （10分）如图，在△ABC中，AC⊥BC，D，F是边AB，AC上的点，DG⊥BC于点G，EF⊥AB于点E，∠1 = ∠2。求证：CD⊥AB。
证明：∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB = ∠ACB = 90°（垂直的定义），
∴ DG//AC（
∴ ∠2 =
∵ ∠1 = ∠2（已知），
∴ ∠1 =
∴ EF//CD（
∴ ∠AEF =
∵ EF⊥AB（已知），
∴ ∠AEF = 90°（
∴ ∠ADC = 90°（
∴ CD⊥AB（
证明：∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB = ∠ACB = 90°（垂直的定义），
∴ DG//AC（
同位角相等，两直线平行
），∴ ∠2 =
∠ACD
（两直线平行，内错角相等
）。∵ ∠1 = ∠2（已知），
∴ ∠1 =
∠ACD
(等量代换)，∴ EF//CD（
同位角相等，两直线平行
），∴ ∠AEF =
∠ADC
（两直线平行，同位角相等
）。∵ EF⊥AB（已知），
∴ ∠AEF = 90°（
垂直的定义
），∴ ∠ADC = 90°（
等量代换
），∴ CD⊥AB（
垂直的定义
）。答案：20.同位角相等，两直线平行 ∠ACD 两直线平行，内错角相等 ∠ACD 同位角相等，两直线平行 ∠ADC 两直线平行，同位角相等 垂直的定义 等量代换 垂直的定义
解析：
证明：
∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB = ∠ACB = 90°（垂直的定义），
∴ DG//AC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2 = ∠ACD（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠1 = ∠2（已知），
∴ ∠1 = ∠ACD（等量代换），
∴ EF//CD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠AEF = ∠ADC（两直线平行，同位角相等）。
∵ EF⊥AB（已知），
∴ ∠AEF = 90°（垂直的定义），
∴ ∠ADC = 90°（等量代换），
∴ CD⊥AB（垂直的定义）。
∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB = ∠ACB = 90°（垂直的定义），
∴ DG//AC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2 = ∠ACD（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠1 = ∠2（已知），
∴ ∠1 = ∠ACD（等量代换），
∴ EF//CD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠AEF = ∠ADC（两直线平行，同位角相等）。
∵ EF⊥AB（已知），
∴ ∠AEF = 90°（垂直的定义），
∴ ∠ADC = 90°（等量代换），
∴ CD⊥AB（垂直的定义）。
21. （10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC，交AC于点F，交AD于点E。若∠AEF = ∠AFB，试猜想△ABC的形状，并证明你的结论。
答案：21.△ABC为直角三角形
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBD.
∵AD⊥BC，
∴在△BDE中，∠EBD+∠BED=90°.
∵∠AEF=∠BED，
∴∠ABF+∠AEF=90°.
∵∠AEF=∠AFB，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°，
∴△ABC为直角三角形
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBD.
∵AD⊥BC，
∴在△BDE中，∠EBD+∠BED=90°.
∵∠AEF=∠BED，
∴∠ABF+∠AEF=90°.
∵∠AEF=∠AFB，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°，
∴△ABC为直角三角形
22. （10分）如图，如果直线AB，CD被直线EF所截，EF分别交AB，CD于点O，O'，AB//CD。请用反证法求证：∠EOB = ∠EO'D。
答案：
22.假设∠EOB≠∠EO'D.如图，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D.
∴A'B'//CD.
∵AB//CD，
∴过点O有两条直线AB，A'B'都平行于直线CD.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
∴假设∠EOB≠∠EO'D不成立，
∴∠EOB=∠EO'D
22.假设∠EOB≠∠EO'D.如图，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D.
∴A'B'//CD.
∵AB//CD，
∴过点O有两条直线AB，A'B'都平行于直线CD.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
∴假设∠EOB≠∠EO'D不成立，
∴∠EOB=∠EO'D