21. （6分）先化简，再求值：$(2x + 3y)^{2} - (2x + y)(2x - y) - 2y(3x + 5y)$，其中$x = -2$，$y = \frac{1}{2}$。
答案：21.原式 = 6xy。当x = -2，y = $\frac{1}{2}$时，原式 = -6
解析：
解：原式$=(4x^{2}+12xy+9y^{2})-(4x^{2}-y^{2})-(6xy+10y^{2})$
$=4x^{2}+12xy+9y^{2}-4x^{2}+y^{2}-6xy-10y^{2}$
$=6xy$
当$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$时，原式$=6×(-2)×\frac{1}{2}=-6$
$=4x^{2}+12xy+9y^{2}-4x^{2}+y^{2}-6xy-10y^{2}$
$=6xy$
当$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$时，原式$=6×(-2)×\frac{1}{2}=-6$
22. （8分）数学兴趣小组在计算$15×15$，$25×25$，$36×34$等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为10的两个两位数相乘时，可以用图形面积来分解计算：如图，由图①，可得$15×15 = 10×20 + 5×5 = 225$；由图②，可得$25×25 = 20×30 + 5×5 = 625$；由图③，可得$36×34 = 30×40 + 6×4 = 1224$。
（1）请你帮助数学兴趣小组画出计算$62×68$的面积分解图并计算；
（2）设两个两位数的十位上的数字都为$a$，个位上的数字分别为$b$，$c$，请用含$a$，$b$，$c$的代数式表示出你发现的计算规律，并证明。
（1）请你帮助数学兴趣小组画出计算$62×68$的面积分解图并计算；
（2）设两个两位数的十位上的数字都为$a$，个位上的数字分别为$b$，$c$，请用含$a$，$b$，$c$的代数式表示出你发现的计算规律，并证明。
答案：
22.(1)如图，由图，可得62 × 68 = 60 × 70 + 2 × 8 = 4216
(2)(10a + b)(10a + c) = 10a · 10(a + 1) + bc 根据多项式乘多项式的运算法则，可得左边 = 100a² + 10a(b + c) + bc = 100a² + 100a + bc，右边 = 100a² + 100a + bc，所以左边 = 右边，该等式成立
22.(1)如图，由图，可得62 × 68 = 60 × 70 + 2 × 8 = 4216
(2)(10a + b)(10a + c) = 10a · 10(a + 1) + bc 根据多项式乘多项式的运算法则，可得左边 = 100a² + 10a(b + c) + bc = 100a² + 100a + bc，右边 = 100a² + 100a + bc，所以左边 = 右边，该等式成立
23. (12分)【教材呈现】七年级下册教材“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法。如课本第39页，在边长为$a$的正方形纸片上剪去一个边长为$b(b ＜ a)$的小正方形(如图①)，通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的乘法公式：
【活动材料】4张如图②所示的A型直角三角形纸片。
【活动要求】利用这些纸片(纸片需全部使用)拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式。
【活动内容】
(1)如图③所示为我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边长为$a$，较长直角边长为$b$，斜边长为$c$。试探究$a^{2}$，$b^{2}$，$c^{2}$之间的数量关系并说明理由。
(2)利用上述结论计算：若$b - a = 1$，$c^{2} = 25$，求$b^{2} - a^{2}$的值。
(a + b)(a - b) = a² - b²
。其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理。【活动材料】4张如图②所示的A型直角三角形纸片。
【活动要求】利用这些纸片(纸片需全部使用)拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式。
【活动内容】
(1)如图③所示为我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边长为$a$，较长直角边长为$b$，斜边长为$c$。试探究$a^{2}$，$b^{2}$，$c^{2}$之间的数量关系并说明理由。
(2)利用上述结论计算：若$b - a = 1$，$c^{2} = 25$，求$b^{2} - a^{2}$的值。
答案：23.【教材呈现】(a + b)(a - b) = a² - b² 【活动内容】(1)a² + b² = c² 理由：因为大正方形的面积 = c² = 4 × $\frac{1}{2}$ab + (b - a)²，所以c² = a² + b²。(2)因为b - a = 1，c² = 25，所以(b - a)² = 1，所以b² + a² - 2ab = 1。又因为c² = a² + b²，所以c² - 2ab = 1，所以2ab = 24，所以(b + a)² = b² + a² + 2ab = 25 + 24 = 49，所以b + a = 7(负值舍去)，所以b² - a² = (b + a)(b - a) = 7
解析：
【教材呈现】$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
【活动内容】
(1)$a^2 + b^2 = c^2$
理由：大正方形的面积为$c^2$，同时大正方形的面积也等于4个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，即$4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^2$，所以$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^2$，化简得$c^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2$，即$c^2=a^2 + b^2$。
(2)因为$b - a = 1$，所以$(b - a)^2=1$，即$b^2 - 2ab + a^2 = 1$。
又因为$c^2 = 25$且$a^2 + b^2 = c^2$，所以$25 - 2ab = 1$，解得$2ab = 24$。
$(b + a)^2 = b^2 + 2ab + a^2 = c^2 + 2ab = 25 + 24 = 49$，所以$b + a = 7$（负值舍去）。
$b^2 - a^2=(b + a)(b - a)=7×1 = 7$。
【活动内容】
(1)$a^2 + b^2 = c^2$
理由：大正方形的面积为$c^2$，同时大正方形的面积也等于4个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，即$4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^2$，所以$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^2$，化简得$c^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2$，即$c^2=a^2 + b^2$。
(2)因为$b - a = 1$，所以$(b - a)^2=1$，即$b^2 - 2ab + a^2 = 1$。
又因为$c^2 = 25$且$a^2 + b^2 = c^2$，所以$25 - 2ab = 1$，解得$2ab = 24$。
$(b + a)^2 = b^2 + 2ab + a^2 = c^2 + 2ab = 25 + 24 = 49$，所以$b + a = 7$（负值舍去）。
$b^2 - a^2=(b + a)(b - a)=7×1 = 7$。