新知梳理
1. 完全平方公式：$(a + b)^2 =$
平方差公式：$(a + b)(a - b) =$
2. (1)计算$(a + b + c)^2$时，可以把其中的
(2)计算$(a + b + c)(a + b - c)$时，可以把其中的
1. 完全平方公式：$(a + b)^2 =$
$a^{2}+2ab+b^{2}$
；$(a - b)^2 =$$a^{2}-2ab+b^{2}$
.平方差公式：$(a + b)(a - b) =$
$a^{2}-b^{2}$
.2. (1)计算$(a + b + c)^2$时，可以把其中的
$a+b$
或$b+c$
或$a+c$
看成一个整体，再运用完全平方
公式，可以得到的结果是$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$
；(2)计算$(a + b + c)(a + b - c)$时，可以把其中的
$a+b$
看成一个整体，再运用平方差
公式和完全平方
公式，可以得到的结果是$a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}$
.答案：1. $a^{2}+2ab+b^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}$ $a^{2}-b^{2}$ 2. (1) $a+b$ $b+c$ $a+c$ 完全平方 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$
(2) $a+b$ 平方差 完全平方 $a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}$
(2) $a+b$ 平方差 完全平方 $a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}$
1. 计算$(m - 3n + 1)(m + 3n - 1)$时，正确的变形是(
A.$[m - (3n + 1)][m + (3n + 1)]$
B.$[m - (3n - 1)][m + (3n - 1)]$
C.$[(m - 3n) + 1][(m - 3n) - 1]$
D.$[(m + 1) - 3n][(m + 1) + 3n]$
B
)A.$[m - (3n + 1)][m + (3n + 1)]$
B.$[m - (3n - 1)][m + (3n - 1)]$
C.$[(m - 3n) + 1][(m - 3n) - 1]$
D.$[(m + 1) - 3n][(m + 1) + 3n]$
答案：1. B
2. 若$(3x + 2y)^2 = (3x - 2y)^2 + A$，则代数式$A$为(
A.$-12xy$
B.$12xy$
C.$24xy$
D.$-24xy$
C
)A.$-12xy$
B.$12xy$
C.$24xy$
D.$-24xy$
答案：2. C
解析：
$(3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$
$(3x - 2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$
由$(3x + 2y)^2 = (3x - 2y)^2 + A$，得
$A=(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2$
$=(9x^2 + 12xy + 4y^2) - (9x^2 - 12xy + 4y^2)$
$=9x^2 + 12xy + 4y^2 - 9x^2 + 12xy - 4y^2$
$=24xy$
C
$(3x - 2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$
由$(3x + 2y)^2 = (3x - 2y)^2 + A$，得
$A=(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2$
$=(9x^2 + 12xy + 4y^2) - (9x^2 - 12xy + 4y^2)$
$=9x^2 + 12xy + 4y^2 - 9x^2 + 12xy - 4y^2$
$=24xy$
C
3. 若$a^2 - b^2 = 4$，则$(a - b)^2(a + b)^2 =$
16
.答案：3. 16
解析：
$(a - b)^2(a + b)^2 = [(a - b)(a + b)]^2 = (a^2 - b^2)^2 = 4^2 = 16$
4. 计算：
（1）$(5x + 1)(25x^2 - 1)(5x - 1)$；
（2）$(m - n - 3)^2$；
（3）$(m - 2)^2(-m - 2)^2$；
（4）（易错题）$(x + y - 6)(x - y + 6)$.
（1）$(5x + 1)(25x^2 - 1)(5x - 1)$；
（2）$(m - n - 3)^2$；
（3）$(m - 2)^2(-m - 2)^2$；
（4）（易错题）$(x + y - 6)(x - y + 6)$.
答案：4. (1) $625x^{4}-50x^{2}+1$ (2) $m^{2}-2mn+n^{2}-6m+6n+9$
(3) $m^{4}-8m^{2}+16$
(4) $x^{2}-y^{2}+12y-36$ [易错分析]错答$x^{2}-y^{2}-36$，原因是用错平方差公式.平方差公式是两数和乘两数差，题目是三个数的代数和乘三个数的代数和，必须运用整体思想先转化成两数和与两数差的积后才能运用平方差公式.
(3) $m^{4}-8m^{2}+16$
(4) $x^{2}-y^{2}+12y-36$ [易错分析]错答$x^{2}-y^{2}-36$，原因是用错平方差公式.平方差公式是两数和乘两数差，题目是三个数的代数和乘三个数的代数和，必须运用整体思想先转化成两数和与两数差的积后才能运用平方差公式.
5. （2024·甘肃）先化简，再求值：$(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)$，其中$a = 2$，$b = -1$.
答案：5. 原式$=4a^{2}+4ab+b^{2}-(4a^{2}-b^{2})=4a^{2}+4ab+b^{2}-4a^{2}+b^{2}=4ab+2b^{2}$.当$a=2,b=-1$时，原式$=4×2×(-1)+2×(-1)^{2}=-8+2=-6$