新知梳理
1. 含有
2. 满足二元一次方程的
1. 含有
两
个未知数，并且含有未知数的项
的次数都是1
的方程叫作二元一次方程. 一般形式为 $ ax + by = c $，其中 $ a $，$ b $，$ c $ 都是常数，且 $ a $≠
$ 0 $，$ b $≠
$ 0 $.2. 满足二元一次方程的
一对未知数
的值叫作这个二元一次方程的一个解. 一个二元一次方程的解有无数
个.答案：1. 两 项 1 ≠ ≠ 2. 一对未知数 无数
1. 下列各方程中，属于二元一次方程的是(
A.$ x - 2y = 4 $
B.$ xy = 4 $
C.$ 3y - 1 = 4 $
D.$ x^{2} - 4x = 3 $
A
)A.$ x - 2y = 4 $
B.$ xy = 4 $
C.$ 3y - 1 = 4 $
D.$ x^{2} - 4x = 3 $
答案：1. A
2. 已知 $ \begin{cases}x = -2, \\ y = 1\end{cases}$ 是关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程 $ mx + y = -3 $ 的一个解，则 $ m $ 的值是( )
A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ -2 $
D.$ 2 $
A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ -2 $
D.$ 2 $
答案：2. D
解析：
将$x = -2$，$y = 1$代入方程$mx + y = -3$，得：$-2m + 1 = -3$，解得$m = 2$。D
3. (易错题)已知方程 $ (m - 1)x^{|m|} + (n + 1)y^{2n - 1} = 3 $ 是二元一次方程，则 $ m + n $ 的值为
0
.答案：3. 0 [易错分析]错答0或2，错因是概念不清，考虑不周全，误认为 m = 1，则m = 1或m = - 1，其实当m = 1时，方程不是二元一次方程，所以 m ≠ 1。
解析：
因为方程$(m - 1)x^{|m|} + (n + 1)y^{2n - 1} = 3$是二元一次方程，所以：
1. 对于$x$的项：$|m| = 1$且$m - 1 \neq 0$，解得$m = -1$；
2. 对于$y$的项：$2n - 1 = 1$且$n + 1 \neq 0$，解得$n = 1$。
则$m + n = -1 + 1 = 0$。
0
1. 对于$x$的项：$|m| = 1$且$m - 1 \neq 0$，解得$m = -1$；
2. 对于$y$的项：$2n - 1 = 1$且$n + 1 \neq 0$，解得$n = 1$。
则$m + n = -1 + 1 = 0$。
0
4. 若 $ \begin{cases}x = 3, \\ y = -2\end{cases}$ 是二元一次方程 $ ax + by = 1 $ 的一个解，则 $ 3a - 2b + 2025 $ 的值为 ______ .
答案：4. 2026
解析：
因为$\begin{cases}x = 3\\ y = -2\end{cases}$是二元一次方程$ax + by = 1$的一个解，所以将$x = 3$，$y = -2$代入方程可得：$3a + (-2)b = 1$，即$3a - 2b = 1$。
则$3a - 2b + 2025 = 1 + 2025 = 2026$。
2026
则$3a - 2b + 2025 = 1 + 2025 = 2026$。
2026
5. 中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了我国人民的智慧和创造力. 某店某天这两种工艺品的销售额为 $ 1175 $ 元. 若扎染工艺品的价格为 $ 175 $ 元/件，刺绣工艺品的价格为 $ 325 $ 元/件，则扎染工艺品销售了
3
件，刺绣工艺品销售了2
件.答案：5. 3 2 解析：设扎染工艺品销售了x件，刺绣工艺品销售了y件.根据题意，得175x + 325y = 1175，即$x = \frac{47 - 13y}{7}. $因为x,y均为正整数，所以$\begin{cases}x = 3, \\ y = 2, \end{cases}$所以扎染工艺品销售了3件，刺绣工艺品销售了2件.
6. (教材 P88 练习第 2 题变式)已知二元一次方程 $ 2x + 5y = 25 $.
(1)把方程写成用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $ 的形式，即 $ y = $
(2)求方程的非负整数解.
(1)把方程写成用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $ 的形式，即 $ y = $
$5 - \frac{2x}{5}$
；(2)求方程的非负整数解.
答案：$6. (1)5 - \frac{2x}{5} (2)$由(1)得，$y = 5 - \frac{2x}{5}. $因为x,y是非负整数，所以x必是5的倍数，所以$\begin{cases}x = 0, \\ y = 5, \end{cases}\begin{cases}x = 5, \\ y = 3, \end{cases}\begin{cases}x = 10, \\ y = 1 \end{cases}$