新知梳理
与解一元一次方程类似，解一元一次不等式时要根据
与解一元一次方程类似，解一元一次不等式时要根据
不等式的基本性质
，将原不等式转化为最简的 $x＞c$ 或 $x＜c$($c$ 为常数)的形式。移项时，要变号
。答案：不等式的基本性质 变号
1. (2025·吉林)不等式 $x - 3＞2$ 的解集为(
A.$x＞5$
B.$x＜5$
C.$x＞-1$
D.$x＜-1$
A
)A.$x＞5$
B.$x＜5$
C.$x＞-1$
D.$x＜-1$
答案：1.A
2. (易错题)(2025·福建)不等式 $\frac{1}{2}x + 1\leqslant 2$ 的解集在数轴上表示正确的是(
C
)答案：2.C [易错分析]错选A，解错不等式，也可能表示时弄反方向；错选D，观察不仔细，没有注意到数轴上空心点与实心点的区别.
解析：
解：$\frac{1}{2}x + 1 \leq 2$
$\frac{1}{2}x \leq 1$
$x \leq 2$
在数轴上表示为：以2为端点，方向向左的射线，端点为实心点，对应选项C。
C
$\frac{1}{2}x \leq 1$
$x \leq 2$
在数轴上表示为：以2为端点，方向向左的射线，端点为实心点，对应选项C。
C
3. 已知代数式 $-4x + 5$，则当 $x$
＜\frac{5}{4}
时，它的值是正数；当 $x$$＞\frac{5}{4}$
时，它的值是负数；当 $x$$\leq \frac{3}{4}$
时，它的值不小于 $2$；当 $x$$\geq1$
时，它的值不大于 $1$。答案：3. $＜\frac{5}{4} ＞\frac{5}{4} \leq \frac{3}{4} \geq1$
解析：
＜$\frac{5}{4}$；＞$\frac{5}{4}$；≤$\frac{3}{4}$；≥1
4. 关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x + y = 1 + m\\x + y = 3\end{cases}$ 的解满足 $2x + y＜1$，则 $m$ 的取值范围是 ______ 。
答案：4. $m＜-2$
解析：
解：$\begin{cases}3x + y = 1 + m \\x + y = 3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$2x = m - 2$，即$x = \frac{m - 2}{2}$
将$x = \frac{m - 2}{2}$代入$x + y = 3$得：$y = 3 - \frac{m - 2}{2} = \frac{8 - m}{2}$
则$2x + y = 2×\frac{m - 2}{2} + \frac{8 - m}{2} = \frac{2(m - 2) + 8 - m}{2} = \frac{m + 4}{2}$
因为$2x + y＜1$，所以$\frac{m + 4}{2}＜1$
解得$m＜-2$
$m＜-2$
用第一个方程减第二个方程得：$2x = m - 2$，即$x = \frac{m - 2}{2}$
将$x = \frac{m - 2}{2}$代入$x + y = 3$得：$y = 3 - \frac{m - 2}{2} = \frac{8 - m}{2}$
则$2x + y = 2×\frac{m - 2}{2} + \frac{8 - m}{2} = \frac{2(m - 2) + 8 - m}{2} = \frac{m + 4}{2}$
因为$2x + y＜1$，所以$\frac{m + 4}{2}＜1$
解得$m＜-2$
$m＜-2$
5. (易错题)已知关于 $x$ 的不等式 $(5 - a)x\leqslant 12$ 的解集为 $x\geqslant \frac{12}{5 - a}$，则 $a$ 的取值范围是
a＞5
。答案：5. $a＞5$ [易错分析]错填$a \neq 5$，观察不仔细，在不等式$(5-a)x \leq 12$的两边同除以$(5-a)$时，只考虑除数不能为0，即$5-a \neq 0$，没有注意不等号改变了方向，根据不等式的基本性质2，除数$(5-a)＜0$.
解析：
因为不等式$(5 - a)x \leq 12$的解集为$x \geq \frac{12}{5 - a}$，不等号方向改变，所以$5 - a ＜ 0$，解得$a ＞ 5$。
$a ＞ 5$
$a ＞ 5$
6. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）（2024·福建）$3x - 2＜1$；
（2）$3x＞2x + 4$；
（3）$x + 8＜4x - 1$；
（4）$4 - \frac{1}{2}x\geqslant 3x + 7$。
（1）（2024·福建）$3x - 2＜1$；
（2）$3x＞2x + 4$；
（3）$x + 8＜4x - 1$；
（4）$4 - \frac{1}{2}x\geqslant 3x + 7$。
答案：
1. （1）解不等式$3x - 2＜1$：
解：
移项得$3x＜1 + 2$，即$3x＜3$。
两边同时除以$3$，得$x＜1$。
2. （2）解不等式$3x＞2x + 4$：
解：
移项得$3x-2x＞4$。
合并同类项得$x＞4$。
3. （3）解不等式$x + 8＜4x - 1$：
解：
移项得$x-4x＜-1 - 8$。
合并同类项得$-3x＜-9$。
两边同时除以$-3$，不等号变向，得$x＞3$。
4. （4）解不等式$4-\frac{1}{2}x\geqslant3x + 7$：
解：
移项得$-\frac{1}{2}x-3x\geqslant7 - 4$。
合并同类项得$-\frac{7}{2}x\geqslant3$。
两边同时除以$-\frac{7}{2}$，不等号变向，得$x\leqslant-\frac{6}{7}$。
1. （1）解不等式$3x - 2＜1$：
解：
移项得$3x＜1 + 2$，即$3x＜3$。
两边同时除以$3$，得$x＜1$。
2. （2）解不等式$3x＞2x + 4$：
解：
移项得$3x-2x＞4$。
合并同类项得$x＞4$。
3. （3）解不等式$x + 8＜4x - 1$：
解：
移项得$x-4x＜-1 - 8$。
合并同类项得$-3x＜-9$。
两边同时除以$-3$，不等号变向，得$x＞3$。
4. （4）解不等式$4-\frac{1}{2}x\geqslant3x + 7$：
解：
移项得$-\frac{1}{2}x-3x\geqslant7 - 4$。
合并同类项得$-\frac{7}{2}x\geqslant3$。
两边同时除以$-\frac{7}{2}$，不等号变向，得$x\leqslant-\frac{6}{7}$。