新知梳理
1. 解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的，再求出它们的.
2. 若$a ＜ b$，则不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\x ＞ b\end{cases}$的解集为 ______ ；不等式组$\begin{cases}x ＜ a, \\x ＜ b\end{cases}$的解集为 ______ ；不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\x ＜ b\end{cases}$的解集为 ______ ；不等式组$\begin{cases}x ＜ a, \\x ＞ b\end{cases}$的解集为 ______ . 以上内容常用口诀“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”记忆.
1. 解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的，再求出它们的.
2. 若$a ＜ b$，则不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\x ＞ b\end{cases}$的解集为 ______ ；不等式组$\begin{cases}x ＜ a, \\x ＜ b\end{cases}$的解集为 ______ ；不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\x ＜ b\end{cases}$的解集为 ______ ；不等式组$\begin{cases}x ＜ a, \\x ＞ b\end{cases}$的解集为 ______ . 以上内容常用口诀“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”记忆.
答案：1. 解集 公共部分 2. x＞b x＜a a＜x＜b 无解
解析：
1. 解集 公共部分
2. $x ＞ b$ $x ＜ a$ $a ＜ x ＜ b$ 无解
2. $x ＞ b$ $x ＜ a$ $a ＜ x ＜ b$ 无解
1. (2025·山西)不等式组$\begin{cases}2x + 1 ＞ 5, \\1 - 3x \geqslant -8\end{cases}$的解集是( )
A.$x ＜ 2$
B.$x \geqslant 3$
C.$2 ＜ x \leqslant 3$
D.无解
A.$x ＜ 2$
B.$x \geqslant 3$
C.$2 ＜ x \leqslant 3$
D.无解
答案：1. C
解析：
解不等式组：
1. 解不等式 $2x + 1 ＞ 5$：
$2x ＞ 5 - 1$
$2x ＞ 4$
$x ＞ 2$
2. 解不等式 $1 - 3x \geqslant -8$：
$-3x \geqslant -8 - 1$
$-3x \geqslant -9$
$x \leqslant 3$
所以不等式组的解集为 $2 ＜ x \leqslant 3$。
C
1. 解不等式 $2x + 1 ＞ 5$：
$2x ＞ 5 - 1$
$2x ＞ 4$
$x ＞ 2$
2. 解不等式 $1 - 3x \geqslant -8$：
$-3x \geqslant -8 - 1$
$-3x \geqslant -9$
$x \leqslant 3$
所以不等式组的解集为 $2 ＜ x \leqslant 3$。
C
2. 已知$3x - y = 6$，若$-1 ＜ y \leqslant 3$，则$x$的取值范围是
$\frac{5}{3}＜x\leq3$
.答案：$2. \frac{5}{3}＜x\leq3$
解析：
由$3x - y = 6$得$y = 3x - 6$。
因为$-1 ＜ y \leq 3$，所以$-1 ＜ 3x - 6 \leq 3$。
不等式两边同时加$6$：$5 ＜ 3x \leq 9$。
不等式两边同时除以$3$：$\frac{5}{3} ＜ x \leq 3$。
$\frac{5}{3} ＜ x \leq 3$
因为$-1 ＜ y \leq 3$，所以$-1 ＜ 3x - 6 \leq 3$。
不等式两边同时加$6$：$5 ＜ 3x \leq 9$。
不等式两边同时除以$3$：$\frac{5}{3} ＜ x \leq 3$。
$\frac{5}{3} ＜ x \leq 3$
3. (易错题)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x - 4 ＞ 0, \\x ＜ m\end{cases}$无解，则$m$的取值范围是 ______ .
答案：
解不等式$2x - 4 ＞ 0$，得$x ＞ 2$。
因为不等式组$\begin{cases}x ＞ 2 \\ x ＜ m\end{cases}$无解，所以$m \leq 2$。
$m \leq 2$
4. 已知方程组$\begin{cases}x + y = 3m, \\x - y = m - 1\end{cases}$的解满足$\begin{cases}x ＜ 0, \\y ＞ 0,\end{cases}$则$m$的取值范围是 ______ .
答案：$4. -\frac{1}{2}＜m＜\frac{1}{4}$
解析：
解：解方程组$\begin{cases}x + y = 3m \\x - y = m - 1\end{cases}$，
两式相加得：$2x = 4m - 1$，解得$x = 2m - \frac{1}{2}$，
两式相减得：$2y = 2m + 1$，解得$y = m + \frac{1}{2}$，
因为$x＜0$，$y＞0$，
所以$\begin{cases}2m - \frac{1}{2}＜0 \\m + \frac{1}{2}＞0\end{cases}$，
解$2m - \frac{1}{2}＜0$得$m＜\frac{1}{4}$，
解$m + \frac{1}{2}＞0$得$m＞-\frac{1}{2}$，
所以$m$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{1}{4}$。
两式相加得：$2x = 4m - 1$，解得$x = 2m - \frac{1}{2}$，
两式相减得：$2y = 2m + 1$，解得$y = m + \frac{1}{2}$，
因为$x＜0$，$y＞0$，
所以$\begin{cases}2m - \frac{1}{2}＜0 \\m + \frac{1}{2}＞0\end{cases}$，
解$2m - \frac{1}{2}＜0$得$m＜\frac{1}{4}$，
解$m + \frac{1}{2}＞0$得$m＞-\frac{1}{2}$，
所以$m$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{1}{4}$。
5. （1）（2025·自贡）解不等式组：$\begin{cases}3x + 3 ＞ 0, \\4x - 3 ＜ 3x - 1;\end{cases}$
（2）求不等式组$\begin{cases}5x + 2 ＞ 3(x - 1), \frac{1}{2}x - 1 \leqslant 7 - \frac{3}{2}x\end{cases}$的所有整数解的和.
（2）求不等式组$\begin{cases}5x + 2 ＞ 3(x - 1), \frac{1}{2}x - 1 \leqslant 7 - \frac{3}{2}x\end{cases}$的所有整数解的和.
答案：
（1）解不等式组：
$\begin{cases}3x + 3 ＞ 0, \\4x - 3 ＜ 3x - 1\end{cases}$
解第一个不等式：$3x + 3 ＞ 0$，得$3x ＞ -3$，$x ＞ -1$。
解第二个不等式：$4x - 3 ＜ 3x - 1$，得$4x - 3x ＜ -1 + 3$，$x ＜ 2$。
所以不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 2$。
（2）解不等式组：
$\begin{cases}5x + 2 ＞ 3(x - 1) ①, \frac{1}{2}x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2}x ②\end{cases}$
解不等式①：$5x + 2 ＞ 3x - 3$，$5x - 3x ＞ -3 - 2$，$2x ＞ -5$，$x ＞ -\frac{5}{2}$。
解不等式②：$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x \leq 7 + 1$，$2x \leq 8$，$x \leq 4$。
所以不等式组的解集为$-\frac{5}{2} ＜ x \leq 4$。
整数解为$x = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$。
所有整数解的和为$(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7$。