5. （2025·内蒙古）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一。某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作。在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均$a$秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用$800$秒采摘苹果的个数比用$600$秒采摘苹果的个数多$25$。
（1）求$a$的值。
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成。每个机器人搭载$4$个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作$1$小时，才能使采摘的苹果个数不少于$10000$？
（1）求$a$的值。
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成。每个机器人搭载$4$个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作$1$小时，才能使采摘的苹果个数不少于$10000$？
答案：5.(1)根据题意，得$25a = 800 - 600$，解得$a = 8$.答：$a$的值为$8$
(2)设需要$x$个这样的机器人.根据题意，得$\frac{3600}{8} × 4x \geq 10000$，
解得$x \geq \frac{50}{9}$.因为$x$为正整数，所以$x$的最小值为$6$.答：至少需要$6$个这样的机器人同时工作$1$小时，才能使采摘的苹果个数不少于$10000$
(2)设需要$x$个这样的机器人.根据题意，得$\frac{3600}{8} × 4x \geq 10000$，
解得$x \geq \frac{50}{9}$.因为$x$为正整数，所以$x$的最小值为$6$.答：至少需要$6$个这样的机器人同时工作$1$小时，才能使采摘的苹果个数不少于$10000$
6. （2025·遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买$A$，$B$两种型号的新型垃圾桶。现有如下材料：
材料一：已知购买$3$个$A$型号的新型垃圾桶和购买$2$个$B$型号的新型垃圾桶共需$380$元；购买$5$个$A$型号的新型垃圾桶和购买$4$个$B$型号的新型垃圾桶共需$700$元。
材料二：据统计该社区需购买$A$，$B$两种型号的新型垃圾桶共$200$个，但总费用不超过$15300$元，且$B$型号的新型垃圾桶数量不少于$A$型号的新型垃圾桶数量的$\frac{2}{3}$。
请根据以上材料，完成下列问题：
（1）求$A$，$B$两种型号的新型垃圾桶的单价。
（2）有哪几种购买方案？
（3）选择哪种方案最省钱？最低购买费用是多少元？
材料一：已知购买$3$个$A$型号的新型垃圾桶和购买$2$个$B$型号的新型垃圾桶共需$380$元；购买$5$个$A$型号的新型垃圾桶和购买$4$个$B$型号的新型垃圾桶共需$700$元。
材料二：据统计该社区需购买$A$，$B$两种型号的新型垃圾桶共$200$个，但总费用不超过$15300$元，且$B$型号的新型垃圾桶数量不少于$A$型号的新型垃圾桶数量的$\frac{2}{3}$。
请根据以上材料，完成下列问题：
（1）求$A$，$B$两种型号的新型垃圾桶的单价。
（2）有哪几种购买方案？
（3）选择哪种方案最省钱？最低购买费用是多少元？
答案：6.(1)设A型号的新型垃圾桶的单价是$x$元，B型号的新型垃圾桶的单价是$y$元.根据题意，得$\begin{cases} 3x + 2y = 380, \\ 5x + 4y = 700, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 60, \\ y = 100. \end{cases}$
答：A型号的新型垃圾桶的单价是$60$元，B型号的新型垃圾桶的单价是$100$元 (2)设购买$m$个A型号的新型垃圾桶，则购买$(200 - m)$个B型号的新型垃圾桶.根据题意，得$\begin{cases} 60m + 100(200 - m) \leq 15300, \\ 200 - m \geq \frac{2}{3}m, \end{cases}$
解得$\frac{235}{2} \leq m \leq 120$.因为$m$为正整数，所以$m$的值可以为$118,119,120$，此时$200 - m$的值对应分别为$82,81,80$，所以共$3$种购买方案，方案$1$：购买$118$个A型号的新型垃圾桶，$82$个B型号的新型垃圾桶；方案$2$：购买$119$个A型号的新型垃圾桶，$81$个B型号的新型垃圾桶；方案$3$：购买$120$个A型号的新型垃圾桶，$80$个B型号的新型垃圾桶 (3)选择方案$1$所需费用为$60 × 118 + 100 × 82 = 15280$(元)；选择方案$2$所需费用为$60 × 119 + 100 × 81 = 15240$(元)；选择方案$3$所需费用为$60 × 120 + 100 × 80 = 15200$(元).因为$15280 ＞ 15240 ＞ 15200$，所以选择方案$3$，即购买$120$个A型号的新型垃圾桶，$80$个B型号的新型垃圾桶最省钱，最低购买费用是$15200$元
答：A型号的新型垃圾桶的单价是$60$元，B型号的新型垃圾桶的单价是$100$元 (2)设购买$m$个A型号的新型垃圾桶，则购买$(200 - m)$个B型号的新型垃圾桶.根据题意，得$\begin{cases} 60m + 100(200 - m) \leq 15300, \\ 200 - m \geq \frac{2}{3}m, \end{cases}$
解得$\frac{235}{2} \leq m \leq 120$.因为$m$为正整数，所以$m$的值可以为$118,119,120$，此时$200 - m$的值对应分别为$82,81,80$，所以共$3$种购买方案，方案$1$：购买$118$个A型号的新型垃圾桶，$82$个B型号的新型垃圾桶；方案$2$：购买$119$个A型号的新型垃圾桶，$81$个B型号的新型垃圾桶；方案$3$：购买$120$个A型号的新型垃圾桶，$80$个B型号的新型垃圾桶 (3)选择方案$1$所需费用为$60 × 118 + 100 × 82 = 15280$(元)；选择方案$2$所需费用为$60 × 119 + 100 × 81 = 15240$(元)；选择方案$3$所需费用为$60 × 120 + 100 × 80 = 15200$(元).因为$15280 ＞ 15240 ＞ 15200$，所以选择方案$3$，即购买$120$个A型号的新型垃圾桶，$80$个B型号的新型垃圾桶最省钱，最低购买费用是$15200$元