新知梳理
1. 多边形内角和定理：$n$ 边形的内角和等于
2. 多边形外角和定理：多边形的外角和等于
1. 多边形内角和定理：$n$ 边形的内角和等于
(n-2)·180°
。2. 多边形外角和定理：多边形的外角和等于
360°
。答案：1. $(n-2)·180^{\circ}$ 2. $360^{\circ}$
1. (2024·云南)一个七边形的内角和等于(
A.$540^{\circ}$
B.$900^{\circ}$
C.$980^{\circ}$
D.$1080^{\circ}$
B
)A.$540^{\circ}$
B.$900^{\circ}$
C.$980^{\circ}$
D.$1080^{\circ}$
答案：1. B
解析：
多边形内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，七边形中$n = 7$，则内角和为$(7 - 2)×180^{\circ}=5×180^{\circ}=900^{\circ}$。
B
B
2. (2024·资阳)已知一个多边形的每个外角都等于 $60^{\circ}$，则该多边形的边数是(
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
C
)A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
答案：2. C
解析：
因为多边形的外角和为$360^{\circ}$，每个外角都等于$60^{\circ}$，所以边数为$360^{\circ} ÷ 60^{\circ} = 6$。
C
C
3. 已知一个多边形的内角和为 $1800^{\circ}$，则这个多边形的边数为(
A.$9$
B.$10$
C.$11$
D.$12$
D
)A.$9$
B.$10$
C.$11$
D.$12$
答案：3. D
解析：
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，可得方程$(n - 2)×180^{\circ}=1800^{\circ}$，解得$n - 2 = 10$，$n = 12$。D
4. (1)若八边形的每一个内角都相等，则其中一个内角的度数为
(2)若$\triangle ABC$ 三个外角的度数之比为 $3:4:5$，则该三角形是
(3)如图①，在五边形 $ABCDE$ 中，点 $M$，$N$ 分别在边 $AB$，$AE$ 上，$\angle 1+\angle 2 = 120^{\circ}$，则$\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=$
(4)如图②，小明从点 $A$ 出发，前进 $10$ m 后向右转 $20^{\circ}$，再前进 $10$ m 后又向右转 $20^{\circ}$，这样一直下去，直到他第一次回到出发点 $A$ 为止，他所走的路径构成了一个多边形，那么小明一共走了
135°
；(2)若$\triangle ABC$ 三个外角的度数之比为 $3:4:5$，则该三角形是
直角
三角形(按角分类)；(3)如图①，在五边形 $ABCDE$ 中，点 $M$，$N$ 分别在边 $AB$，$AE$ 上，$\angle 1+\angle 2 = 120^{\circ}$，则$\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=$
480°
；(4)如图②，小明从点 $A$ 出发，前进 $10$ m 后向右转 $20^{\circ}$，再前进 $10$ m 后又向右转 $20^{\circ}$，这样一直下去，直到他第一次回到出发点 $A$ 为止，他所走的路径构成了一个多边形，那么小明一共走了
180
m.答案：4. (1) $135^{\circ}$ (2) 直角 (3) $480^{\circ}$ (4) 180
5. 已知一个多边形的每个内角都相等，且每个外角的度数都等于和它相邻的内角的度数的$\frac{2}{3}$，求这个多边形的边数及内角和.
答案：5. 设这个多边形一个内角的度数为 $x^{\circ}$，则每个外角的度数为 $(\frac{2}{3}x)^{\circ}$. 由题意，得 $x+\frac{2}{3}x=180$，解得 $x=108$，此时 $(\frac{2}{3}x)^{\circ}=72^{\circ}.\therefore$ 这个多边形的边数为 $360^{\circ}÷72^{\circ}=5,\therefore$ 这个多边形的内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$
解析：
设这个多边形一个内角的度数为$x^{\circ}$，则每个外角的度数为$(\frac{2}{3}x)^{\circ}$。
由题意，得$x + \frac{2}{3}x = 180$，
解得$x = 108$，
此时$\frac{2}{3}x = \frac{2}{3}×108 = 72$，即每个外角的度数为$72^{\circ}$。
因为多边形的外角和为$360^{\circ}$，所以这个多边形的边数为$360÷72 = 5$。
这个多边形的内角和为$(5 - 2)×180^{\circ} = 540^{\circ}$。
答：这个多边形的边数为$5$，内角和为$540^{\circ}$。
由题意，得$x + \frac{2}{3}x = 180$，
解得$x = 108$，
此时$\frac{2}{3}x = \frac{2}{3}×108 = 72$，即每个外角的度数为$72^{\circ}$。
因为多边形的外角和为$360^{\circ}$，所以这个多边形的边数为$360÷72 = 5$。
这个多边形的内角和为$(5 - 2)×180^{\circ} = 540^{\circ}$。
答：这个多边形的边数为$5$，内角和为$540^{\circ}$。