5. 比一比，你发现了什么？
$360÷6 + 420÷6$ $◯$ $(360 + 420)÷6$
$469÷7 - 329÷7$ $◯$ $(469 - 329)÷7$
(1)乐乐将发现的规律用字母来表示，请帮他填完整。($c$不为0)
$a÷c + b÷c = (□ + □)÷c$
$a÷c - b÷c = (□◯□)◯□$
(2)根据发现的规律进行巧算。
$636÷3 + 84÷3$ $(4500 - 90)÷45$
(3)举一个例子验证$a÷b + a÷c = a÷(b + c)$是否正确。($b$、$c$均不为0)
$360÷6 + 420÷6$ $◯$ $(360 + 420)÷6$
$469÷7 - 329÷7$ $◯$ $(469 - 329)÷7$
(1)乐乐将发现的规律用字母来表示，请帮他填完整。($c$不为0)
$a÷c + b÷c = (□ + □)÷c$
$a÷c - b÷c = (□◯□)◯□$
(2)根据发现的规律进行巧算。
$636÷3 + 84÷3$ $(4500 - 90)÷45$
(3)举一个例子验证$a÷b + a÷c = a÷(b + c)$是否正确。($b$、$c$均不为0)
答案：5. = = (1)$a$ $b$ $a$ -$b$ ÷ $c$
提示:在一个只有除法和加减法的算式中,当除数相同时,可以先求出所有被除数的和或差,再除以相同的除数。
(2)$636÷3 + 84÷3$ $(4500 - 90)÷45$
$= (636 + 84)÷3$ $= 4500÷45 - 90÷45$
$= 720÷3$ $= 100 - 2$
$= 240$ $= 98$
提示:根据(1)中的规律进行巧算即可。
(3)举例不唯一,如$120÷3 + 120÷5 = 64$,$120÷(3 + 5) = 15$,64与15不相等,所以$a÷b + a÷c = a÷(b + c)$不正确。
提示:假设$a$、$b$、$c$分别是某数,再分别代入并计算验证,如果两边算出的得数相等说明正确,反之,则不正确。
提示:在一个只有除法和加减法的算式中,当除数相同时,可以先求出所有被除数的和或差,再除以相同的除数。
(2)$636÷3 + 84÷3$ $(4500 - 90)÷45$
$= (636 + 84)÷3$ $= 4500÷45 - 90÷45$
$= 720÷3$ $= 100 - 2$
$= 240$ $= 98$
提示:根据(1)中的规律进行巧算即可。
(3)举例不唯一,如$120÷3 + 120÷5 = 64$,$120÷(3 + 5) = 15$,64与15不相等,所以$a÷b + a÷c = a÷(b + c)$不正确。
提示:假设$a$、$b$、$c$分别是某数,再分别代入并计算验证,如果两边算出的得数相等说明正确,反之,则不正确。
6. 用简便方法计算。
$2222×4 + 8888×19$ $72×85 + 38×85 - 850$
$(51×102×78)÷(17×34×13)$
$1000 + 999 - 998 - 997 + 996 + 995 - 994 - 993 + ··· + 4 + 3 - 2 - 1$
$2025×20262026 - 2026×20252025$
$2222×4 + 8888×19$ $72×85 + 38×85 - 850$
$(51×102×78)÷(17×34×13)$
$1000 + 999 - 998 - 997 + 996 + 995 - 994 - 993 + ··· + 4 + 3 - 2 - 1$
$2025×20262026 - 2026×20252025$
答案：6. $2222×4 + 8888×19 = 2222×4 + 2222×4×19 = 2222×(4 + 4×19) = 2222×80 = 177760$
提示:注意隐藏条件,8888可以写成$2222×4$,式子变为$2222×4 + 2222×4×19$,可以逆用乘法分配律进行计算。
$72×85 + 38×85 - 850 = 72×85 + 38×85 - 85×10 = 85×(72 + 38 - 10) = 85×100 = 8500$
提示:850可以写成$85×10$,式子变为$72×85 + 38×85 - 85×10$,可以逆用乘法分配律进行计算。
$(51×102×78)÷(17×34×13)$
$= 51×102×78÷17÷34÷13$
$= 51÷17×102÷34×78÷13$
$= (51÷17)×(102÷34)×(78÷13)$
$= 3×3×6$
$= 54$
提示:在乘除法混合运算中,乘法运算和除法运算的顺序可以交换,把明显有倍数关系的两个数带符号搬家,分在同一组计算。
$1000 + 999 - 998 - 997 + 996 + 995 - 994 - 993 + ··· + 4 + 3 - 2 - 1$
$= (1000 + 999 - 998 - 997) + (996 + 995 - 994 - 993) + ··· + (4 + 3 - 2 - 1)$
$= 4 + 4 + ··· + 4$
$= 4×250$
$= 1000$
提示:观察发现,如果算式中每4个数为一组,那么每组的结果都是4,1000个数,每4个数为一组,一共有250组,由此可以得出最后的结果是$4×250 = 1000$。
$2025×20262026 - 2026×20252025 = 2025×2026×(10001 - 10001) = 0$
提示:$20262026 = 2026×10001$,$20252025 = 2025×10001$。
提示:注意隐藏条件,8888可以写成$2222×4$,式子变为$2222×4 + 2222×4×19$,可以逆用乘法分配律进行计算。
$72×85 + 38×85 - 850 = 72×85 + 38×85 - 85×10 = 85×(72 + 38 - 10) = 85×100 = 8500$
提示:850可以写成$85×10$,式子变为$72×85 + 38×85 - 85×10$,可以逆用乘法分配律进行计算。
$(51×102×78)÷(17×34×13)$
$= 51×102×78÷17÷34÷13$
$= 51÷17×102÷34×78÷13$
$= (51÷17)×(102÷34)×(78÷13)$
$= 3×3×6$
$= 54$
提示:在乘除法混合运算中,乘法运算和除法运算的顺序可以交换,把明显有倍数关系的两个数带符号搬家,分在同一组计算。
$1000 + 999 - 998 - 997 + 996 + 995 - 994 - 993 + ··· + 4 + 3 - 2 - 1$
$= (1000 + 999 - 998 - 997) + (996 + 995 - 994 - 993) + ··· + (4 + 3 - 2 - 1)$
$= 4 + 4 + ··· + 4$
$= 4×250$
$= 1000$
提示:观察发现,如果算式中每4个数为一组,那么每组的结果都是4,1000个数,每4个数为一组,一共有250组,由此可以得出最后的结果是$4×250 = 1000$。
$2025×20262026 - 2026×20252025 = 2025×2026×(10001 - 10001) = 0$
提示:$20262026 = 2026×10001$,$20252025 = 2025×10001$。
7. (1)姐妹俩同时从家出发去少年宫，路程全长770米。妹妹走路每分钟行60米，姐姐骑自行车每分钟行160米。姐姐到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇，这时妹妹走了(
7
)分钟。答案：7. (1)7
提示:姐姐到达少年宫后立即返回,与妹妹相遇时,两人行的路程和是从家到少年宫距离的2倍,即$770×2 = 1540$(米)。姐姐和妹妹每分钟行的路程和是$60 + 160 = 220$(米),相遇时妹妹走的时间就是两人的相遇时间,即$1540÷220 = 7$(分钟)。
提示:姐姐到达少年宫后立即返回,与妹妹相遇时,两人行的路程和是从家到少年宫距离的2倍,即$770×2 = 1540$(米)。姐姐和妹妹每分钟行的路程和是$60 + 160 = 220$(米),相遇时妹妹走的时间就是两人的相遇时间,即$1540÷220 = 7$(分钟)。
(2)小明和小红从相距3490米的甲、乙两地同时出发，相向而行。小明骑车，速度是150米/分，小红步行。小明骑行过程中车坏了，修车用了5分钟，在出发20分钟后，两人相遇。小红步行的速度是(
62
)米/分。答案：7. (2)62
提示:修车用了5分钟,小明骑行的时间为$20 - 5 = 15$(分钟),小红步行的路程为$3490 - 15×150 = 1240$(米),小红步行的速度为$1240÷20 = 62$(米/分)。
提示:修车用了5分钟,小明骑行的时间为$20 - 5 = 15$(分钟),小红步行的路程为$3490 - 15×150 = 1240$(米),小红步行的速度为$1240÷20 = 62$(米/分)。
(3)兄弟俩绕小区围墙同时同地背向起跑，哥哥每秒跑6米，弟弟每秒跑5米。两人相遇后，弟弟又跑了120秒才回到原出发地，则弟弟绕小区围墙跑一圈要(
220
)秒。答案：7. (3)220
解析:由弟弟在两人相遇后又跑了120秒可知,相遇后弟弟跑的$120×5 = 600$(米)就是哥哥在相遇前所跑的路程,从而可求出相遇时间为$600÷6 = 100$(秒),再加上弟弟后来跑的120秒就是弟弟绕小区围墙跑一圈要用的时间,即$100 + 120 = 220$(秒)。
解析:由弟弟在两人相遇后又跑了120秒可知,相遇后弟弟跑的$120×5 = 600$(米)就是哥哥在相遇前所跑的路程,从而可求出相遇时间为$600÷6 = 100$(秒),再加上弟弟后来跑的120秒就是弟弟绕小区围墙跑一圈要用的时间,即$100 + 120 = 220$(秒)。
(4)乐乐每分钟行走100米，多多每分钟行走80米。两人从同一地点同时出发，背向而行，5分钟后乐乐调转方向去追多多，再过(
45
)分钟乐乐能追上多多。答案：7. (4)45
提示:开始5分钟,两人背向而行,一共行走的路程就是后面乐乐需追赶的路程,然后用路程除以速度差就可求得追赶时间。$(100 + 80)×5 = 900$(米),$900÷(100 - 80) = 45$(分钟)。
提示:开始5分钟,两人背向而行,一共行走的路程就是后面乐乐需追赶的路程,然后用路程除以速度差就可求得追赶时间。$(100 + 80)×5 = 900$(米),$900÷(100 - 80) = 45$(分钟)。